资源简介

(共26张PPT)
23.4 中位线
学习目标
1. 理解中位线的概念和性质（重点）
2. 能够利用中位线解决相关问题（重点、难点）
3. 经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程（难点）
新课导入
思考一下：如图，在池塘外选一点C，连结AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB的距离了。同学们知道AB是多少米吗？为什么？
E
D
B
A
C
新课导入
在23.3节中，我们得到如下的结论：
如图，在△ABC中，DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
在推理过程中，我们由DE//BC 推得 = = .
那么当点 D 是 AB 的中点时，利用该比例式容易推知点E也是AC 的中点，并且DE = BC.
现在换一个角度考虑，如果已知点 D、E分别是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC？DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢
新课学习
我们试着对于上面的问题猜想一下：
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想：
DE∥BC，且DE= BC.
对于上面的猜想证明一下
新课学习
我们用演绎推理给出证明：
△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC，且DE= BC.
新课学习
三角形的中位线的概念
在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，连接DE．像DE这样，连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
D
E
新课学习
三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
D
E
几何语言
∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC, DE= BC．
新课学习
例1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE、DF互相平分.
连结DE、EF.
∵AD=DB，BE=EC，
∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半).
同理可得EF∥BA.
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE、DF互相平分.
新课学习
例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：
连结ED.
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE∥AC，
并且等于第三边的一半)，
∴△ACG∽△DEG，
∴
∴
新课学习
拓展一下：如果在例2图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那么我们同理可得
所以
A
B
C
D
G
E
A
C
D
G'
F
B
即两图中的点G与点G′是重合的.
新课学习
通过刚刚的探究，我们可以得出结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
注意：数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的.
新课学习
练一练：求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
新课学习
连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= AC.
同理EF∥AC, EF= AC,
∴HG∥EF，HG = EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂巩固
C
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B
课堂巩固
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A
课堂巩固
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
8
课堂巩固
8
课堂总结
1.三角形中位线的概念
2.三角形中位线的性质
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