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6.1 二元一次方程组
第六章 二元一次方程组
冀教版（2024）
素养目标
1.了解二元一次方程（组）及其解的概念；
重点
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程（组）的解；
重点
3.能根据实际问题中的数量关系列出简单的二元一次方程或二元一次方程组；
4.使学生体会方程是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型，形成应用意识.
难点
新知导入
什么叫一元一次方程？“元”“次”分别表示什么含义？
在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是1(次)，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
但在许多问题中，还会遇到含有多个未知量的情况，为更好地解决这些问题，我们开始本章知识的学习.
探究新知
用载质量不同的两种货车来运货.已知4辆轻型货车和5辆中型货车一次最多能运货52 t，10辆轻型货车和3辆中型货车一次最多能运货 54 t. 那么，这两种货车每辆的载质量分别是多少吨？
你能用我们已经学过的一元一次方程来解决该问题吗？
探究新知
设一个未知数
解：设每辆轻型货车的载质量为 x t，
则每辆中型货车的载质量为
根据“10辆轻型货车载质量+3辆中型货车载质量=54t”列一元一次方程.
4辆轻型货车的载质量+5辆中型货车的载质量 = 52 t
解这个一元一次方程，得 x =3.
从而，得
答：每辆轻型货车载质量为3t，每辆中型货车载质量为8t.
探究新知
设两个未知数
解：设每辆轻型货车的载质量为 x t，每辆中型货车的载质量为 y t.
根据“10辆轻型货车载质量+3辆中型货车载质量=54t”得，
根据“ 4辆轻型货车的载质量+5辆中型货车的载质量 = 52 t ”得，
能不能根据题意直接设两个未知数解决该问题呢？
4x+5y = 52， ①
10x+3y =54. ②
这两种货车每辆的载质量应当是同时满足方程①和②的未知数的值.
探究新知
【问题1】比较方程 ，4x+5y = 52和10x+3y = 54，它们的共同点是什么？不同点是什么？
共同点：
1.都是方程；
2.含有未知数的项的次数都是1；
不同点：
第1个方程含有一个未知数，第2、3个方程含有两个未知数；
归纳总结
像4x+5y =52和10x+3y =54这样，含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫作二元一次方程.
二元一次方程需满足以下三个条件：
①含有两个未知数；
②未知数所在项的次数都是1；
③方程左右两边都是整式.
练一练
下列各方程中，一定是二元一次方程的有________.(填序号)
①8x-y=3；②3x-z=y；③2x-z=3；④3x2+1=y；⑤xy=2；⑥x-y=1；⑦ax+3y=5(a是常数).
①③⑥
②含有三个未知数
④⑤含有未知数的项的最高次数是2
若a=0，则只含有一个未知数
二元一次方程的一般形式：ax + by = c (a ≠ 0，b ≠ 0).
04
探究新知
【问题2】x=3，y =8是否同时满足方程4x+5y = 52和10x+3y = 54.
将x = 3，y = 8代入方程 4x+5y = 52和10x+3y = 54可知， x，y的值同时满足这两个方程；
归纳总结
x = 3，y = 8是 4x + 5y = 52的一组解，也是 10x + 3y = 54 的一组解.
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
一般地，将二元一次方程的一组解记为
一般地，一个二元一次方程有无数个解．如果对未知数的取值附加某些限制条件，则可能有有限个解．
归纳总结
判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：
将这对数值分别代入方程的左右两边，
若左边= 右边，则这对数值是这个方程的解，
若左边≠右边，则这对数值不是这个方程的解.
探究新知
这两种货车每辆的载质量应当是同时满足方程4x+5y = 52和方程10x+3y =54的未知数的值.
把这两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组.
由几个方程组成的一组方程叫做方程组．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫做二元一次方程组．
是一个二元一次方程组．
2x+3y=12 x … 2 3 4 5 …
y … …
3x-2y=5 x … 2 3 4 5 …
y … …
探究新知
对于二元一次方程，任意给定未知数x的一个值，你能求出满足方程的未知数y的值吗？填写下表.
是否有同时满足这两个方程的一组解？
2
2
5
归纳总结
二元一次方程组中方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解.
x=3，y=2 既满足方程2x+3y=12，又满足方程3x-2y=5，也就是说x=3，y=2是这两个方程的公共解.
二元一次方程组 的解为
归纳总结
判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法：
判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，这对数值就不是这个方程组的解.
A
D
A
C
A
A
D
D
小结
二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程的解
二元一次方程的定义
二元一次方程组
二元一次方程组的定义
二元一次方程组的解
谢谢同学们的聆听

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