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6.4三元一次方程组
第六章 二元一次方程组
冀教版（2024）
素养目标
1.理解三元一次方程及三元一次方程组的的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想；
重点
知识回顾
1.什么是二元一次方程？
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程.
2.什么是二元一次方程组？
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫做二元一次方程组.
3.解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的基本思路是什么？
二元一次方程组
一元一次方程
消元
代入、
加减
新知导入
有两个未知数的问题，我们可以通过列二元一次方程组解决，那如果问题中含有更多的未知数，我们应该如何解决呢？
下面我们开始进行本节知识的学习
探究新知
类似于二元一次方程，我们把含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
观察上面三个方程组，你能有什么发现？
探究新知
1.各方程中含有几个未知数？
2.含未知数的项的次数都是几？
3.它们是不是方程组？
含三个未知数
是方程组
含未知数的项的次数都是1
归纳总结
含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的的次数都是 1的方程组，叫作三元一次方程组.
【注意】组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
三元一次方程组中各方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解.
探究新知
1. 解二元一次方程组的方法有哪些？
(1) 代入消元法 (2) 加减消元法
2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元转化
二元一次方程组
一元一次方程
转化
消元
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
探究新知
①
②
③
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
小美：先①×5+②消去z，再③-①消去z，得到关于x，y的二元一次方程组；解得x，y后代入求z.
探究新知
①
②
③
①×5+②，再 ③ - ①，消去未知数 z，得到一个二元一次方程组
④
⑤
由④＋⑤，得
7x = 35.
解得
x = 5.
将x=5代入⑤中， 得
5 - 4y = 9.
解得
y = -1.
探究新知
已知x，y的值，如何求z的值？
将x = 5，y = -1代入①中，得
5 + (-1) + z = 5.
解得
z = 1.
所以，原方程组的解为
探究新知
解：由①，得
z = x-4. ④
将④分别代入②，③，得
解这个二元一次方程组，得
将 x = 4代入④，得
z = 0.
所以，原方程组的解为
①
②
③
解方程组
练一练
解三元一次方程组：
①②③
方程①只含 x、z，因此，可以由 ②③ 消去 y，得到一个只含 x、z 的方程，与方程 ① 组成一个二元一次方程组.
思考：对于这个方程组，消哪个元比较方便？
练一练
解：②×3 + ③，得：11x +10 z = 35 ④；
①与④组成方程组
解得： ；
将 x =5、z = -2代入 ② 中得：y =
所以原方程组的解是：
解三元一次方程组：
①②③
归纳总结
解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
归纳总结
解三元一次方程组的基本方法和步骤：
7x=35.
x=5.
x-4y=9.
x+y+z=5.
消元
消元
求解
代入
得解
代入
得解
得解
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
转化
转化
归纳总结
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中求出最后一个未知数的值；
(4)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
探究新知
已知小明与爸爸、妈妈的年龄之和为92岁，爸爸比妈妈大2岁，小明与妈妈的年龄之和比爸爸大12岁，他们的年龄分别是多少？
【问题1】本题中有几个等量关系？请你分别表示出来.
爸爸的年龄 + 妈妈的年龄 + 小明的年龄 = 92岁；
爸爸的年龄 - 2 = 妈妈的年龄；
小明的年龄 + 妈妈的年龄 = 爸爸的年龄+12.
探究新知
【问题2】如果设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小明的年龄是z岁，请列出方程组.
解这个方程组，得
答：爸爸的年龄为40岁，妈妈的年龄为38岁，小明的年龄是14岁.
D
B
A
B
C
2
小结
三元一次方程组
概念
解法
含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组.
通过消元，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元” ，通过求一元一次方程的解，进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解.
谢谢同学们的聆听

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