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2025年甘肃省兰州市中考数学模拟试卷1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数：，，，，，，中，负数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果一个角的余角是，则这个角的补角的度数（　　）
A． B． C． D．
3．近年来出生人口持续走低，即使国家开放三胎，也缓解不了颓势，2022年我国出生人口是1062万人，数据1062万用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知某一次函数的图象经过点，，则该函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ）

A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
8．在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A． B． C．或 D．或
10．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在等腰直角中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动，过点作交直角边或于点，以为边向右作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰直角重合部分的面积为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．若，则的值为 ．
14．如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为
15．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为 ．
16．水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为，该顾客选购的草莓质量的方差为，则 （填“>”、“=”或“<”号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．解下列不等式．
(1)
(2)；
(3)解不等式组，并在数轴上表示解集．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、．
(1)求直线的解析式；
(2)求；
(3)若点C在轴上且为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
21．如图，在四边形中，，．现沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点．若，．
(1)求证：．
(2)求的长．
22．消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处．
(1)求水流抛物线的解析式；
(2)已知高楼的点C处，离地面的高度是．
①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度；
②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法．
23．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接．
(1)求的值；
(2)求的长．
24．2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________；
(3)该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
25．嘉淇的爸爸是钓鱼爱好者，已知钓鱼竿长，钓鱼竿尾端距离岸边）即），水面与地面平行且竖直距离为（即）
(1)如图1，在等待鱼上钩的过程中，水面上方鱼线（看成线段）与水面的夹角，鱼线末端C刚好位于水面上，钓鱼竿与地面的夹角，求点C到岸边的距离（结果保留整数）；
(2)如图2，当刚好有鱼上钩并且提竿的过程中，钓鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被回收，鱼线末端C刚好位于水面上．已知此时鱼线长，求点C到岸边的距离．（参考数据：，，，，取）
26．如图，内接于，为的直径，点为劣弧的中点，连接、，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
27．如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴，轴交于点、，直线与直线交于点，直线过点，与轴交于点，点的纵坐标是．
(1)求直线的解析式；
(2)若点E在x轴上，且，求点E坐标；
(3)点在直线上，且在直线的左侧，，点是线段的动点，过点Q作轴，交直线于点，在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【考点】正负数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值的意义，有理数的乘方运算；将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．
解：，，，，，，中，负数有，，共2个；
故选：B．
2．【考点】求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算
【分析】先根据余角的定义求出这个角的度数，进而可求出这个角的补角．
解：由题意，得：．
∴这个角的补角的度数是．
故选：．
【点评】本题主要考查余角，补角的知识，理解余角，补角的概念和计算方法是解题的关键．
3．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
解：1062万用科学记数法表示为．
故选：C．
4．【考点】合并同类项、去括号
【分析】本题考查了合并同类项，去括号，根据合并同类项的法则进行运算以及去括号的法则进行化简，即可作答．
解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B
5．B
【考点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】由A、B坐标求出函数解析式，再根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
解：设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴，
∵，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故选： B．
【点评】本题考查了一次函数的性质：在中，当时，y随x的增大而增大，时直线经过第一、二、三象限，时直线经过原点及第一、三象限，时直线经过第一、三、四象限．
6．【考点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据平行线的判定对各选项进行判断即可．
解：A中可判定，故此选项符合题意；
B中可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
C中可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
D中可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．【考点】三角形中位线的实际应用
【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据点是的中点，可得，由此即可求解．
解：根据题意，是的中位线，
∴，
∴（米），
故选：．
8．【考点】解分式方程、根据概率公式计算概率
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，解分式方程等考点，根据概率公式正确列出方程是解题的关键．
根据“概率所求情况数与总情况数之比”，列方程求解即可．
解：设黄球的个数为个，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
即：黄球的个数是个，
故选：C．
9．【考点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3．
解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又∵，，
∴，
∴
即
解得：或，
∵，
∴，
故选：A．
10．【考点】古代问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
11．【考点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质和三角形内角和定理，其中正确应用等腰三角形的性质是解答本题的关键．
根据等边对等角得到，然后由三角形外角的性质求出，进而求解即可．
解：中，，
，
，
，
．
故选：C．
12．【考点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．根据题意将点E分为三段，点H在线段时，且点H为到达线段；点E向右运动截止于点C重合前，且点H位于线段右侧；点E在线段上；分别求解即可．
解：∵点运动的路程为，
∴，
∵为等腰直角，，
∴，
∴，
∵以为边向右作正方形，
∴，
当点H在线段时，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
此时，
那么，；
若点E向右运动截止于点C重合前，如图，
则，，，
∴，，
则；
若点E在线段上时，如图，
则，
∴，
故选∶A．
13．【考点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用
【分析】根据因式分解的应用即可求解．
解：∵，，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题考查了因式分解的应用，本题的解题关键是，把代入即可得出答案．
14．【考点】含30度角的直角三角形、求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键．
如图，由，由此得到，再由米，可得米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
解：如图，
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴这棵大树在折断前的高度为米．
故答案为：6米．
15．【考点】求圆心角
【分析】本题考查已知弧长求圆心角的度数，设点转过的度数为，根据弧长公式进行求解即可．
解：设点转过的度数为，由题意，得：，
∴；
∴点转过的度数为，
故答案为：90．
16．【考点】根据方差判断稳定性
【分析】本题考查了方差，根据方差的定义分析即可解答．
解：∵方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小反之亦可，
∴水果超市的草莓大小不一，而该顾客选购大小均匀的草莓质量，
∴说明顾客选购草莓的质量比水果超市的波动较小，
∴超市草莓质量的方差大于顾客选购草莓的方差，
故答案为：>．
17．【考点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘法则运算，然后化简后合并即可．
解：
．
18．【考点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号内的分式通分， 把除法转化为乘法，然后约分计算，最后代入求值即可．
解：
；
当时，原式．
19．【考点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式（组），解题关键是熟练解不等式和利用数轴确定不等式组的解集．
（1）按照解不等式的步骤解题即可；
（2）按照解不等式的步骤解题即可；
（3）先分别解两个不等式，再求公共解集即可，再画数轴．
（1）解：
解得：；
（2）解：
解得：；
（3）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
20．【考点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）直接利用面积公式进行计算即可；
（3）分三种情况，进行求解即可．
（1）解：设直线的解析式为，
直线过点和，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）、，
，，
的面积；
（3）如图，当时，则：，
，
，
当时，
，，
，；
当时，，
，
，
，
综上所述，C点的坐标为或或或．
21．【考点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的应用；
（1）由平行线的性质证明，由轴对称证明，可得，从而可得结论；
（2）设，而，，可得，，再利用勾股定理求解即可．
（1）解：∵，
∴，
由翻折的性质可知，
，
∴，
；
（2）解：设，而，，
∴，，
∵，，
∴，
解得：；
∴；
22．【考点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键；
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）①先设出平移后的解析式，然后代入点坐标进行计算即可；②同①方式进行计算即可．
（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过点，
，
解得：，
∴水流抛物线的解析式为：；
（2）解：①设水枪竖直升高的高度为，
∴向上平移后抛物线的解析式为：，
∵过点，
，
解得：，
答：水枪竖直升高的高度为；
②设水枪水平向左移动，
∴向左平移后抛物线的解析式为：，
∵过点，
，
解得：，，
答：水枪水平向左移动或．
23．【考点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据旋转的性质得出，，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出旋转角，即可求解；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据得出，根据，即可求解．
（1），
由旋转得，
点在同一条直线上，
，
，
旋转角的度数是，即，
的值为120．
（2），
，
由（1）知，
，
，
的长为6．
24．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】（1）根据A平板观看的人数与占比即可求出本次调查的学生总人数，进而求出C电视观看的人数即可计算补全统计图；
（2）先求出“手机观看”的占比再乘以即可求解；
（3）根据“电视观看”的占比乘以全校九年级人数即可求解．
此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答．解题关键是正确读懂统计图的信息以及明确题意．
（1）这次随机抽取的学生总人数：（人），
“电视观看”的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）B“手机观看”所占圆心角，
故答案为：；
（3）这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人），
答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人．
25．【考点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图1中，过点作于点，延长交于点．则四边形是矩形．求出线段，可得结论；
（2）如图2中，过点作于点，延长交于点．则四边形是矩形．求出线段，可得结论．
（1）解：如图1中，过点作于点，延长交于点．则四边形是矩形．
在中，，，
，，
，
，
；
（2）解：如图2中，过点作于点，延长交于点．则四边形是矩形．
在中，，，
，，
，
．
26．【考点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得：，根据切线的定义，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，，根据圆周角定理可得：，根据等角的余角相等可得：，根据对顶角相等可得：，根据等角对等边可证结论成立；
连接，因为，所以，由可知，因为是的直径，可得，又因为，可证，根据相似三角形对应边成比例，可得：，从而可求的长度．
（1）证明：为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
点为劣弧的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，
，
，
，
为的直径，
，
，，
，
，
即，
．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，本题的综合性较强，解决本题的关键是根据圆的一些性质找边和角之间的关系．
27．【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
（1）证明即可．
（2）连接，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理计算即可．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴；
∴；
∵，
∴
∴．
（2）解：连接，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴是等边三角形，
∴；
∵，，，
∴；
∴；
∴．
28．【考点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、等腰三角形的定义
【分析】本题是一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形性质等知识；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点作直线，在点的下方取点，使，则点，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解；
（3）求出直线解析式为，得到，再分类求解即可．
（1）解：在中，令得，令得，
，，
点的纵坐标是，
，
设直线的解析式为，把代入得：
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：由、的坐标知，，
过点作直线，在点的下方取点，使，
则点，
则直线的表达式为：，
则点；
当点在轴右侧时，
同理可得：点；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：存在，理由：
在直线上存在点，使得，
设交直线于，如图：
，，，
，
在中，令得，
，
设，直线为，
则，解得，
直线为，
令得：，
，
，
，
，即，
解得，
；
在轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
由，得直线解析式为，
设，
轴，在上，
在中令，得，
，
，
①当为直角顶点时，如图：
，
，
解得，
，；
②当为直角顶点时，如图：
，
，
解得，
，；
③当为直角顶点时，过作，如图：
，
，
解得，
，，
，
，
，；
综上所述，的坐标为：，或，或，．
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