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第4章 立体几何初步
4.2 平面
1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.(数学抽象)
2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.(数学抽象)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三条基本事实(公理)及其推论.(逻辑推理、直观想象)
4.理解三个基本事实及推论的地位和作用.(逻辑推理)
在日常的生活中,相机三脚架(一个用来固定相机位置的装置,由于这个装置有三个支点,因此称为三脚架)、施工用的支架等,都是由不在同一直线的三个脚(点)支撑,这样可以使这些物体水平放置,为什么三个脚(点)不在同一直线上呢
例1 用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
解: (1)符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC、图形表示如图①所示.
(2)符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC、图形表示
如图②所示.
探究一 文字、图形、符号三种语言的转化
反思感悟 学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面间的位置关系只能用“ ”或“ ”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.
变式训练1 (1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为　　　　 .
(2)如图,填入相应的符号:A　　　 平面ABC, A　　　 平面BCD,BD　　　 平面ABC,平面ABC∩平面ACD=　　　　　.
(3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件 A∈MN,B∈α,B MN,C∈β,C MN.
答案: (1)M∈a,a α,M∈α
(2)∈　 　 　AC
(3)如图所示.
例2 证明:两两相交且不过同一点的四条直线共面.
已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.
求证:a,b,c,d四线共面.
探究二 证明多线共面
证明 :①无三线共点情况,如图.
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ α,即b α.
同理,c α,所以a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图.
设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K a.
因为K a,所以K和a确定一个平面,设为β.
因为N∈a,a β,所以N∈β.
所以NK β,即b β.
同理,c β,d β.
所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面.
反思感悟 证明多线共面的常用方法有:
(1)先由部分直线确定一个面,再证其余的直线都在这个平面内,
即用“纳入平面法”;
(2)先由其中一部分直线确定一个平面α,一部分直线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.
变式训练2 求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,
那么这四条直线共面.
已知:如图所示,a∥b,b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C.
求证:直线a,b,c,l在同一平面内.
证明: 因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面,设为α.
因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以l α.
因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β.
同理可知l β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B.
又因为经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合,
所以直线a,b,c和l共面.
例3 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.
求证:P,Q,R三点共线.
探究三 证明点共线
分析:证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线;
也可以证明PR是平面APR与平面α的交线,点Q既在平面APR内,也在平面α内,
即点Q在平面APR与平面α的交线PR上.
证明: (方法1)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB 平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
(方法2)∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,
∴BC 平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR.
∴P,Q,R三点共线.
点共线:证明多点共线通常利用两相交平面交线的唯一性,
通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;
也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
变式训练3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面BDC1交于
点O,AC,BD交于点M.
求证:C1,O,M三点共线.
证明: 由AA1∥CC1,则AA1与CC1确定一个平面ACC1A1.
∵A1C 平面ACC1A1,而O∈A1C,
∴O∈平面ACC1A1.
又A1C∩平面BC1D=O,
∴O∈平面BC1D.
∴点O在平面BC1D与平面ACC1A1的交线上.
又AC∩BD=M,
∴M∈平面BC1D且M∈平面ACC1A1.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面ACC1A1,
∴平面ACC1A1∩平面BC1D=C1M,
∴O∈C1M,即C1,O,M三点共线.
例4 如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于不同的直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b.
若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.
分析:由a,b都在平面γ内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,
即证明交点在以c为交线的两个平面α,β内.
探究四 证明线共点
证明: ∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a γ,b γ.
又直线a和b不平行,∴a,b必相交.
如图所示,设a∩b=P,
则P∈a,P∈b.
∵a β,b α,
∴P∈β,P∈α,
又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P,
∴a,b,c三条直线必过同一点.
要点笔记 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.
变式训练4 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,
G,H分别是CD和AD上的点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.
求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明: 延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,
∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,
∴四边形EFGH为梯形,
∴EH,FG共面,且EH与FG不平行.
∵O∈EH,EH 平面ABD,
∴O∈平面ABD.
∵O∈FG,FG 平面BCD,
∴O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD=BD,
∴O∈BD,
∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
1.下列四个选项中的图形正确表示两个相交平面的是(　　)
答案: D
解析: 选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出; 选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.
2.下列说法(A,B表示点,a表示直线,α,β表示平面)中正确的个数是(　　)
①∵A∈α,B∈α,∴AB∈α;
②∵A∈α,A∈β,∴α∩β=A;
③∵A α,a α,∴A a;
④∵A∈a,a α,∴A α.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案: B
解析: ③正确.①错,其中的AB∈α应为AB α;②错,其中α,β应该交于一条过A点的直线;④错,因为点A可能是直线a与平面α的交点.
3.(多选题)下列图形中,一定是平面图形的是(　　)
A.三角形
B.平行四边形
C.四边相等的四边形
D.梯形
答案: ABD
4.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定　　　　　个平面.
答案: 3
解析: 三条直线相交于一点,最多可确定3个平面.
如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面α,直线b,c确定平面β,
直线a,c确定平面γ,共3个平面.
5.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G,H分别在BC,CD上,
且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
求证:E,F,G,H四点共面.
证明: 在△ABD中,∵E,F为AD,AB中点,
∴EF∥BD.在△CBD中,∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2,
∴GH∥BD,∴EF∥GH,
∴E,F,G,H四点共面.

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