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第4章 立体几何初步
4.4 平面与平面的位置关系
4.4.1 平面与平面平行的性质定理
1.掌握平面与平面平行的性质定理,能利用定理解决空间中的平行性问题.(逻辑推理)
2.了解平面到平面距离的含义,并能求解.(数学运算、逻辑推理)
1. 两个平面的位置关系
没有公共点
有一条公共直线
2. 两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
问题1：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面
有什么位置关系？
若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行.
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面.
面面平行的性质定理一
图形语言
符号语言
简记：面面平行→线面平行
?
问题2：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线是否平行？它们有什么位置关系？
分别在两个平行平面内的直线必定没有公共点，它们不一定平行，
可能是平行或异面.
平行
异面
图形语言
????∥????，????∩????＝a，????∩????＝b，则a∥b.
?
符号语言
两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．
面面平行的性质定理
简记：面面平行→线线平行
?
证明：如果一条直线垂直于两个平行平面中一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
g
已知：
求证：
α∥β，l⊥α
l⊥β
证明：垂直于同一条直线的两个平面平行.
已知：
求证：
l⊥α ，l⊥β
α∥β
?
?
?
?
A
A?
l
n
n?
m
m?
两个平面平行的两个重要结论
(1)如果一条直线垂直于两个平行平面中一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
数学符号语言：
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.
数学符号语言：
例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N=N.求证： (1)NC1∥AM；　 (2) N为AC的中点.
证明：(1)因为平面AB1M∥平面BC1N，
平面AB1M∩平面ACC1A1=AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N，
所以NC1∥AM.
(2)因为AC∥A1C1，NC1∥AM，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN=C1M=12A1C1= 12 AC，
所以N为AC的中点.
?
例4 求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．
已知：如图，平面α∥平面β，AB和DC为夹在α，β间的平行线段．
求证：AB＝DC.
　　
证明：因为AB∥DC，
所以AB和DC确定平面AC.
又因为直线AD，BC分别是平面AC与平面α，β的交线，
所以AD∥BC，
故四边形ABCD是平行四边形．
所以AB=DC.
如果平面α平行于平面β，则称平面α上任意一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离.
平面与平面的距离
P
O
两个平行平面间的距离及相关结论
公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线；
公垂线段：公垂线夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段；
两个平行平面间的距离：我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
两个平行平面公垂线段都相等。
1.若α∥β,a?α,下列四个说法正确的是(　　)
①a与β内所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点.
A.①② B.②③④ C.②③ D.①③④

答案： B
解析： 由性质知①错误;由定义知②正确;由定义知③正确;由定义知④正确,
故选B.
2.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交

答案： BCD
解析： 平行于同一直线的两个平面有可能相交,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面A1ABB1都与C1D1平行,但平面ABCD与平面A1ABB1相交.B,C,D正确.
3.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为　　　　　.?
答案： a?β或a∥β
解析： 若a?β,则显然满足题目条件.
若a?β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,
由α∥β得b∥c,所以a∥c.又a?β,c?β,所以a∥β.
4.如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的
交线为l,则l与AC的关系是　　　　　.?
答案： 平行
解析： 由面面平行的性质可得,AC∥l.
5.已知三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.
求证:平面DEF∥平面ABC.
证明： 如图所示,
在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.
又AB?平面ABC,DE?平面ABC,
因此DE∥平面ABC.
同理,EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF=E,DE,EF?平面DEF,
所以平面DEF∥平面ABC.
线线平行
线面平行
???????????????????????//?????????//????
?
????//?????????????????∩????=?????????//????
?
面面平行
?????????，?????????，????∩????=????，且????∥????，????∥????，则????∥?????.
?
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
则a∥b.
线面平行的判定定理
线面平行的性质定理
面面平行的判定定理
面面平行的性质定理
面面平行性质
空间中的平行关系
线线平行
线面平行
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?
????//?????????????????∩????=?????????//????
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面面平行
?????????，?????????，????∩????=????，且????∥????，????∥????，则????∥?????.
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空间中的平行关系
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
则a∥b.
线面平行的判定定理
线面平行的性质定理
面面平行的判定定理
面面平行的性质定理
空间中的平行关系

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