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第4章 立体几何初步
4.4 平面与平面的位置关系
4.4.2 平面与平面垂直的判定定理
1.了解二面角及其平面角的概念.(数学抽象)
2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.(直观想象、数学抽象)
3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理.(逻辑推理、直观想象)
问题1：在平面几何中“角”是怎样定义的？构成角的基本要素有几个？
平面：两直线垂直?夹角是直角
?
空间：两个平面的夹角是直角?平面互相垂直
?
猜测：
如何刻画两个平面的夹角呢？
探究一：二面角
角
二面角
二面角
平面中的角
类 比
棱
面
面
????
?
????
?
????
?
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角
1.二面角
图形语言
二面角α－AB－β
二面角P－AB－Q.
二面角α－l－β或P－l－Q.
记 作
二面角的棱：直线AB
二面角的面：????，????
?

二面角的表示
l
?
?
A
B
?
?
二面角?－AB－ ?
?
?
l
二面角?－ l－ ?
二面角C－AB－ D
A
B
C
D

⑴ 平卧式：
⑵ 直立式：
2.画二面角
A
B
?
?
A
B
l
?
?
l
A
B
?
?
l
　二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
　　 ∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？为什么？
二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角.
3.二面角的平面角
用空白纸折出一个二面角，讨论后画出一个平面角来表示二面角的大小.
探究一：二面角的平面角的大小


二面角的范围：[?????????,??????????????????]．
?
① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
4．二面角的大小
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
A
B
二面角的大小可以用它的平面角来度量．
即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
探究二：平面与平面垂直
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
1.平面与平面垂直
图形语言
符号语言
α⊥β
在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直
找到一个面面垂直的实例，指出实例中哪两个平面互相垂直，说明使得该组平面垂直的原因，并尝试总结判定两平面垂直的一般方法.
拆
简称：线面垂直?面面垂直
?
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
平面与平面垂直的判定定理
图形语言
符号语言
????⊥????,??????????????⊥????
?
????
?
????
?
????
?
例5 如图，在四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，四个侧面都是矩形．
求证：平面BB′C′C⊥平面ABCD.
证明：因为侧面BB′C′C是矩形，
　　所以CC′⊥BC.
　　因为侧面CC′D′D是矩形，
　　所以CC′⊥CD.又BC∩CD=C，
　　因此CC′⊥平面ABCD.
　　又CC′?平面BB′C′C，
　　所以平面BB′C′C⊥平面ABCD.
?
例6 如图，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，
使∠BDC为直角.
求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.
证明：因为AD⊥BD，AD⊥DC，
BD∩DC=D，
所以AD⊥平面BDC.
因为AD ?平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BDC.
已知∠BDC为直角，
所以BD⊥DC.又AD∩DC=D，
因此BD⊥平面ADC.
因为BD ?平面ABD，
所以平面ADC⊥平面ABD.
?
1.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆周上一点(不同于A,B),则二面角P-BC-A的平面角为(　　)
A.∠PCA B.∠APC
C.∠PBA D.∠PCB
答案： A
解析： 由AB是圆的直径可知AC⊥BC,由PA垂直于圆所在的平面可知PA⊥BC,易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角,故选A.
2.直线l⊥平面α,l?平面β,则α与β的位置关系是(　　)
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交不垂直
答案： C
解析： 由面面垂直的判定定理,得α与β垂直.
3.已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.
解： 取CD中点O,连接AO,BO.
∵三棱锥A-BCD的各棱长均为2,
∴AO⊥CD,BO⊥CD,
∴∠AOB是二面角A-CD-B的平面角.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
空间中的垂直关系
线面垂直的判定定理
线面垂直的性质（3条）
面面垂直的判定定理
????⊥????,??????????????⊥????
?
????
?
????
?
????
?
???????????????????????⊥????????⊥????????∩????=???? ?????⊥????
?
????
?
????
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????
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