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第4章 立体几何初步
4.5.1 几种简单几何体的表面积
1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.(数学抽象、数学运算)
2.了解柱体、锥体、台体、球的侧面积计算公式;能运用柱体、锥体、台体、球的侧面积公式进行计算和解决有关实际问题.(数学抽象、数学运算)
北京奥运会场馆图
北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？水立方：177m(长)×177m(宽)×31m(高)
问题引入：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
空间问题
平面图形面积
平面问题
简单几何体
简单多面体
棱
柱
棱
锥
棱
台
简单旋转体
圆
柱
圆
锥
圆
台
球
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.
因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
规律探究
1.棱柱的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
S直棱柱侧=Ch
????
?
直棱柱的侧
面展开图
其中，C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高.
?
????
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棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
????′
?
正棱锥的侧面展开图
2.棱锥的表面积
正棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
正棱锥的侧面展开图
S正棱锥侧=　Ch′，
其中，C为正棱锥的底面周长，h′为侧面等腰三角形的高
　　任意棱锥的侧面积如何来计算？
解：作SE⊥BC，垂足为点E，连接OE.
因为SO⊥OE，所以SE2=SO2+OE2.
因为SE⊥BC，SO⊥BC，所以BC⊥平面SOE，
所以BC⊥OE，故OE=2.又SO=4，所以SE=　　.
又底面周长C=4×4=16,
所以S正棱锥侧=　Ch′ =　
又S底=4×4=16，
因此，该正四棱锥的表面积为S表=16+　　 .
例1 如图，正四棱锥S－ABCD的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积.
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
3.棱台的表面积
S正棱台侧=(C+C′)h′，
其中C，C′为棱台两底面的周长，h′为棱台侧面的高.
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．其它多面体的表面积等于围成这个多面体的各个面的面积之和.
h'
多面体的表面积
例2 图4.5-5是一个正四棱台形的石墩.已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高h′为30cm.在不计下底面所占面积的情况下，
试计算这个物体的表面积(结果单位为m2).
图4.5-5
解：由题意可知，上底面周长为C′=4×30=120(cm)，
下底面周长为C=4×40=160(cm)，
则S正棱台侧 =　(C+C′)h′ = (160+120)×30=4200(cm2).
又上底面积为30×30=900(cm2)，
所以表面积为900+4 200=5100(cm2).
又 5100cm2=0.51m2，
因此，在不计下底面所占面积的情况下，这个物体的表面积为0.51 m2.
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O
S圆柱表面积=S上下底+S侧=2????r2+2????rl=2????r(r+l)
?
圆柱的侧面展开图是矩形
4.圆柱的表面积
圆柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
圆锥的侧面展
开图是扇形
S圆锥表面积=????r2+????rl=????r(r+l)
?
O
5.圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ？
O
O’
圆台的侧面展开图是扇环
6.圆台的表面积
O
O’
O
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
三者间的关系

球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，
即S球=4πR2，其中R为球的半径
7.球的表面积
例3 如图4.5-6，某种 “浮球”是由两个直径是6cm 的半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒长2cm．要在2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100 g，大约需胶多少克(π取3)？
图4.5-6
　　解：根据题意，上、下两个半球的表面积是
S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2)，
　　而“浮球”的圆柱筒侧面积为
　　S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2).
　　所以1个“浮球”的表面积为
S=36π+12π=48π(cm2).
　　因此，2 500个“浮球”的表面积的和为
　2500S=2500×48π=120000π(cm2).
　　又　120000π cm2=12π m2，
　　所以需要胶的质量总共为 100×12π=1200π≈3600(g).
1.若圆锥的底面半径为1,顶点到底面的距离为 ,则圆锥的表面积为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π

答案： C
解析： 设圆锥的母线长为l,则 ,所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.
2.若长方体的从同一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是(　　)

C.50π D.200π

答案： C
解析： 设该球的半径为R,由题意,球的直径是长方体的体对角线,所以 4R2=32+42+52=50,所以球的表面积为S=4πR2=50π.故选C.
3.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的表面积为　　　　　.?
5.牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥组成的组合体,尺寸如图所示(单位:m),请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布.(精确到0.01 m2,π≈3.14)
下部分圆柱的侧面积为S2=π×5×1.8≈28.26(m2).
∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S≈S1+S2=50.03(m2).
圆台
圆柱
圆锥
圆柱、圆锥、圆台、球

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