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第4章 立体几何初步
4.5.2 几类简单几何体的体积
1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的体积的求法.(数学抽象、数学运算)
2.了解柱体、锥体、台体的体积计算公式之间的关系;会求组合体的体积.(数学抽象、数学运算)
3.在掌握球的体积计算公式的基础上,能够求解与球有关的组合体体积计算问题.(逻辑推理、数学运算)
美国大发明家爱迪生有一位数学基础相当好的助手叫阿普顿.有一次,爱迪生把一只电灯泡的玻璃壳交给阿普顿,要他计算一下灯泡的容积.阿普顿看着梨形的灯泡壳,思索了好久之后,画出了灯泡壳的剖视图、立体图,画出了一条条复杂的曲线,测量了一个个数据,列出了一道道算式.经过几个小时的紧张计算,还未得出结果.结果爱迪生不到一分钟,就把灯泡的容积“算”出来了.大家能猜出爱迪生使用的巧妙方法吗
知识点一:几种简单几何体的体积
几何体 体积公式
棱柱 V棱柱=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高)
棱锥 V棱锥=Sh(S为棱锥的底面积,h为棱锥的高)
棱台 V棱台= (S++S')h .
(S',S分别为棱台的上底、下底面积,h为棱台的高)
知识点二:圆柱、圆锥的体积
1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)
2.V圆锥= πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高)
名师点析 棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,它们的体积公式可统一如下:
(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体的高);
(2)V锥体= Sh(S为锥体的底面积,h为锥体的高).
知识点三:球的体积
若球的半径为R,则球的体积为V= πR3.
例1 用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大
解： ①若以矩形的长为圆柱的母线l,
则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m,
探究一 柱体的体积
要点笔记 柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),
特别地,圆柱的体积公式也可以表示为V=πr2h(r为底面半径,h为高).
因此求柱体体积的关键是求出底面积与高.
例2 (1)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)
探究二 锥体的体积
答案： (1)C　(2)A
(2)作圆锥的轴截面(如图所示).
由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB.
设圆锥的高为h,底面半径为r,
2.求解三棱锥的体积时,由于三棱锥的每一个面均可以看作是底面,因此要注意根据几何体的特征变换顶点.
反思感悟 1.锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆锥的体积公式也可以表示为V= πr2h(r为底面半径,h为高).因此求锥体体积的关键是求出底面积与高.
例3 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.
探究三 棱台的体积
解： 如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中心,D,D'分别是BC,B'C'的中点,
反思感悟 1.棱台的体积公式 (S',S分别为上、下底面面积,
h为高),因此求棱台体积的关键是求出上、下底面面积和高.
2.涉及与正棱台有关的几何计算,应根据正棱台底面正多边形的特征构造与下底面正多边形边上的高、正棱台的高有关的直角三角形再求解.
例4 各棱长均为 的四面体内有一内切球,求该球的体积.
分析：等体积法→内切球的半径→球的体积
探究四 球的体积
反思感悟 与球有关的组合体一般有两类,一类是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;另一类是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.
延伸探究 求本例所给四面体外接球的体积.
例5 如图所示,扇形AOB的半径为2,圆心角为90°.若扇形AOB绕OA旋转一周,则图中阴影部分所得几何体的体积为(　　)
探究五 组合体的体积
答案： C
解析： 扇形AOB绕OA旋转一周,图中阴影部分所得几何体为半径R=2的半球去掉一个底面半径r=2,高h=2的圆锥,则图中阴影部分绕OA旋转一周所得几何体的体积为
反思感悟 求组合体体积的方法:
(1)分析结构特征.明确组合体的组成形式,找准有关简单几何体的关键量.
(2)设计计算方法.根据组成形式,利用“切割”“补形”的方法设计计算方法求体积.
(3)计算求值.根据设计的计算方法求值.
1.如图所示,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面间的距离为1 m,则这个六棱柱的体积为(　　)
答案 B
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,
若AB=PD=3,AD=2,则该四棱锥的体积为(　　)
A.18
B.12
C.9
D.6
答案 D
4.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为　　　　　.
答案： 4R
解析：设圆柱的高为h,则3× R3=πR2·h,解得h=4R.
5.在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底的中点,将剩余平面图形绕直线DE旋转一圈,求所得几何体的表面积和体积.
解： 所求几何体是上部是圆锥,下部是圆柱挖去一个半球体的组合体,
则该组合体的表面积为S组合体=S圆锥侧+S圆柱侧+S半球
柱、锥、台、球
计算
应用
体积计算公式

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