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第5章 立体几何初步
5.1 随机事件与样本空间
5.1.2 事件的运算
1.了解随机事件的交、并与互斥的的含义.
2.能结合实例进行随机事件的运算.
知识点　事件的运算
事件的关系 定义 表示法 图示
包含关系 如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A.对于任何事件A，都有 A Ω. ________
事件相等 对于事件A，B，如果A B，且B A，则称A与B等价，或称A与B相等． A＝B 两个相
等的圆
A B
事件的交 (或积) 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B________发生，则称该事件为事件A与B的交(或积)． ________ (或AB)
事件的并 (或和) 如果某事件发生当且仅当事件A________事件B发生，则称该事件为事件A与B的并(或和)． ________ (或A＋B)
互斥事件
同时
或
不可能
事件的差 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差． ________
事件对立 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件． Ω\A或 ________
A\B
探究一 互斥事件与对立事件的判定
例1 已知某医院的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加培训.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件,并说明理由.
(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;
(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;
(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;
(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
解 (1)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不是对立事件.
(2)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(4)是互斥事件,也是对立事件.
理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互斥事件,也是对立事件.
反思感悟 互斥事件和对立事件的判定方法
1.利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.
2.利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
(1)若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
(2)若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
变式训练1
把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对
答案 C
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
变式训练2
从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(　　)
A.取出2个红球和1个白球
B.取出的3个球全是红球
C.取出的3个球中既有红球也有白球
D.取出的3个球中至少有两个红球
答案 D
解析 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D.
探究二 用简单事件的和或积表示复杂事件
例2 在掷质地均匀的骰子的试验中,可以定义许多事件.例如:
C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,
C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,
D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于3”,
D3=“出现的点数小于5”,E=“出现的点数小于7”,
F=“出现的点数为偶数”,G=“出现的点数为奇数”,
请根据上述定义的事件列出事件D2,事件F包含的事件及符合相等关系的事件.
解 事件D2包含事件C4,C5,C6.事件F包含事件C2,C4,C6.事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
反思感悟 进行事件运算时应注意的问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用韦恩图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
1.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则(　　)
A.A B
B.B A
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
答案 C
解析 事件A,B没有公共元素,因此A与B互斥.
答案 电路工作正常　电路工作不正常
2.如图所示,事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”，C=“丙元件正常”，则A∪B∪C表示的含义为 ， 表示的含义为 .
3.盒子里有10个完全相同的球分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任取1个球，设A＝“球的标号不大于5”，B＝“球的标号是3的倍数”，C＝“球的标号是质数”．
(1)写出样本空间Ω；
(2)求A与B；
(3)求A\B与Ω\C.
1.事件的关系
2.事件的交与事件的并
3.互斥事件、对立事件与事件的差

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