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第5章 立体几何初步
5.2 概率及运算
5.2.1 古典概型
1.了解随机事件概率的含义及表示.
2.理解古典概型的特点和概率公式.
3.了解古典概型的一般求解思路和策略.
基因是指携带遗传信息的DNA或RNA序列,也称为遗传因子,是控制性状的基本遗传单位.以褐色的眼睛为例,每个人都有两种基因控制眼睛颜色,一种是显性基因(记为B),另一种是隐性基因(记为b);基因总是成对出现(如BB,bB,Bb,bb),而成对的基因中,只要出现了显性基因,那么这个人的眼睛为褐色(也就是说,“眼睛不为褐色”的充要条件是“成对的基因是bb”).假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb,则孩子眼睛不为褐色的概率有多大
知识点:古典概型
1.随机事件发生的概率
我们把随机事件A 发生的可能性的大小 叫作随机事件A的概率,记作P(A) .
2.古典概型
　　　 样本点的有限性
(1)古典概型的定义:设试验的样本空间Ω有n个样本点,且每个样本点发生的可能性相同,当Ω中的事件A包含了m个样本点时,称 为事件A发生的概率,简称为A的概率.我们把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.
(2)古典概型的判断标准
古典概型的两个特点:①样本空间中只有有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等.
(4)概率的基本性质:不可能事件不包含任何样本点,因而P( )= 0 ,必然事件包含Ω中的所有样本点,因而P(Ω)= 1 .根据古典概型的定义,可知任何事件的概率在0~1之间,即 0 ≤P(A)≤ 1 .
名师点析 1.下列三类试验都不是古典概型:
(1)样本点个数有限,但不等可能;
(2)样本点个数无限,但等可能;
(3)样本点个数无限,也不等可能.
2.判断一个概率模型是不是古典概型,要把握试验结果的有限性和等可能性这两个特点.
例1 某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环……命中5环和不中靶.你认为这是古典概型吗 为什么
分析：紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.
解： 不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环……命中5环和不中靶的出现没有规定是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.
探究一 古典概型的判断
反思感悟 只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型,这两个条件只要有一个不满足就不是古典概型.
例2 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察两次出现的点数情况,则:
(1)一共有几个样本点
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点
分析：先列出所有的样本点,再确定个数.
探究二 样本点的计数问题
解： (方法1)(1)用(x,y)表示样本点,其中x表示第1次骰子出现的点数,y表示第2次骰子出现的点数,则试验的样本空间:
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
共36个样本点.
(2)设A=“出现的点数之和大于8”,
则A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},包含10个样本点.
(方法2)如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,样本点与所描点一一对应.
(1)由图知,样本点的总数为36.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出).
(方法3)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如下图所示.
(1)由图知,共36个样本点.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出).
反思感悟 1.在列出样本点时,应先确定样本点是否与顺序有关.写样本点时,一定要按一定顺序写,这样不容易漏写.
2.求样本点总数的常用方法:
(1)列表法就是利用表格的形式列出所有的样本点,通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果比较多的问题.表格的行与列分别代表不同的元素,根据试验的要求直接在表格中标出相应的结果,这种方法直观、简洁、不易出错.
(2)用坐标系来表示样本点多用于二维或三维问题,并且往往表达含有顺序问题的样本点.
(3)树形图可以清晰准确地列出所有的样本点,适合较复杂问题中样本点的探求.
例3 将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次底面的数字为x,第二次底面的数字为y,用(x,y)表示一个样本点.
(1)请写出对应的样本空间;
(2)求事件“ 为整数”的概率;
(3)求事件“x-y<2”的概率.
探究三 古典概型的概率计算
解： (1)先后抛掷两次正四面体的样本空间为: Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点.
(2)记A: 为整数,则A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共8个样本点.
(3)记B:x-y<2,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},共13个样本点.
反思感悟 求解古典概型问题的一般思路
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)根据事件包含的样本点个数m及试验的样本点总个数n,再利用公式
P= 求出事件发生的概率.
1.下列试验中,是古典概型的个数为(　　)
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案： B
解析： 只有④是古典概型.
2.鞋柜内散放着两双不同的鞋,随手取出两只,恰是同一双的概率是　　　　　.
解析： 设其中一双鞋的两只分别为a,a',另一双鞋的两只分别为b,b'.画树状图如下.
由图可知样本空间包含12个样本点,其中事件“能配成一双”包含4个样本点,所以取出的两只鞋恰是同一双鞋的概率为
3.一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个,记下号码后放回.再取出1个,记下号码后放回,按顺序记录为(x,y).
(1)求所得两球标号的和为6的概率;
(2)求所得两球标号的和是3的倍数的概率.
解： 列出所有的样本点,共25个,如图所示.
(1)设A=“所得两球标号的和为6”,则由图可直观地看出A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},故所求概率为
(2)设B=“两球标号的和为3的倍数”,
则B={(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(4,5),(5,4)},共9个样本点,
故所求概率为 .

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