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第5章 立体几何初步
5.2 概率及运算
5.2.2 概率的运算
1.了解互斥事件的概率加法公式.
2.会用对立事件的概率公式进行运算.
3.利用事件的关系将复杂事件转化为简单事件,提升转化与化归能力,培养逻辑推理、数学运算和数据分析的能力.
甲乙两人下棋，若根据已有的下棋结果可知甲获胜的概率为 ，甲乙下成和棋的概率为 ，那么乙不输棋的概率是多少呢？
知识点:事件的概率
1.互斥事件的概率公式:如果Ω中的事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.对立事件的概率公式:如果A是样本空间Ω的事件,则P( )=1-P(A).
3.一般概率加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
名师点析 1.对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,
并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,
那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这n个事件的概率的和,
即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
2.若A与B互为对立事件,则有P(A)+P(B)=1;
若P(A)+P(B)=1,并不能得出A与B互为对立事件.
例1 在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:
(1)x的值;
(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;
(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.
分析：根据成绩在不同的区间上,则各分数段彼此互斥,因此可利用互斥事件的概率公式求解.
探究一 互斥事件的概率加法公式的应用
解： (1)分别记小江的成绩在90分以上,[80,90],[70,80),[60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件,
由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,
由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,
∴x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.
(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A∪B),
则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.
(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P( )=1-P(E)=1-0.07=0.93.
反思感悟 1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式
求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪ )=P(A1)+P(A2)+…+P( ),其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误.
例2 (1)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
(2)某市为创建文明城市,试进行生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类,分别记为a,b,c.设置了厨余垃圾箱、可回收垃圾箱和其他垃圾箱,分别为A,B,C.为调查居民生活垃圾分类投放情况,随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500 kg生活垃圾,数据统计如下表,则估计生活垃圾投放错误的概率为(　　)
类别 A B C
a 200 kg 10 kg 40 kg
b 15 kg 120 kg 20 kg
c 15 kg 50 kg 30 kg
探究二 对立事件的概率
答案： (1)B　(2)D
解析： (1)设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.
要点笔记 求对立事件概率的关注点
当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题.
例3 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为 .求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
探究三 一般概率加法公式的应用
反思感悟 1.对于与古典概型有关的问题可直接结合A∪B,A,B,A∩B的含义进行求解.
2.若该模型不是古典概型,则需要套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特别要注意P(A∩B)的数值.
用逆向思维方法处理概率问题
典例 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
素养形成
解： 把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.用y1,y2分别表示
甲、乙抽到的题目,则数组(y1,y2)可表示样本点.样本空间的样本点数为20.
设A=“甲抽到选择题,乙抽到判断题”,
则A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共6种;
B=“甲抽到判断题,乙抽到选择题”,
则B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共6种;
C=“甲、乙都抽到选择题”,
则C={(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2)},共6种;
D=“甲、乙都抽到判断题”,
则D={(p1,p2),(p2,p1)},共2种.
方法点睛 在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P( )来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
1.在某段时间内,甲地下雨的概率是0.3,则甲地不下雨的概率是(　　)
A.0.15 B.0.3 C.0.5 D.0.7
答案： D
解析： 因为甲地下雨的概率是0.3,所以甲地不下雨的概率是1-0.3=0.7.故选D.
2.已知事件E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则P(F)=　　　　.
答案： 0.6
解析： ∵E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,
∴P(F)=P(E∪F)-P(E)=0.8-0.2=0.6.
3.抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数1,2,3,4,5,6),若事件A为“朝上一面的数是奇数”,事件B为“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B).下面的解法是否正确 为什么 若不正确,给出正确的解法.
解：因为P（A∪B）=P（A）+P（B），而
所以
解： 不正确.在使用P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须满足A,B是互斥事件,但是已知中的A,B不是互斥事件,因为它们有可能同时发生,所以不能使用这个公式,应该使用一般概率加法公式.

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