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第5章 立体几何初步
5.3 用频率估计概率
1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.(数学抽象)
2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.(数学抽象)
3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.(逻辑推理)
小明设计了一个“配紫色”的游戏:下图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘,如果转盘A的指针停到了红色区域,转盘B的指针停到了蓝色区域,那么就记为获胜,因为红色和蓝色混在一起就配成了紫色.怎么计算游戏者获胜的概率
知识点一:随机事件的频率
设Ω是某个试验的样本空间,A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次,
则称 是n次独立重复试验中事件A发生的频率.
问题：某射击运动员射击20次,恰有18次击中目标,则该运动员击中目标的频率是　　　　　.
答案: 0.9
解析: 设击中目标为事件A,则n=20,nA=18,则F20(A)= =0.9.
知识点二:频率与概率之间的关系
在相同的条件下,将一试验独立重复n次,若用Fn(A) 表示事件A在这n次试验中发生的频率,则当n增加时,Fn(A)将向一个固定的数值p靠近,这个数值p就可看作是事件A发生的概率P(A),即Fn(A)是P(A)的估计.
归纳 频率与概率的区别与联系
名称 区别 联系
频率 本身是随机的,在试验之前无法确定,随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个常数附近摆
动,频率会越来越接近概率,在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件的概率,在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率
概率 是[0,1]中的一个常数,不随试验结果的改变而改变,它是频率的科学抽象 思考:
提示: 买1 000张彩票相当于做1 000次试验,结果可能是一次奖也没中,或多次中奖,所以“彩票中奖概率为 ”并不意味着买1 000张彩票就一定能中奖,这一数据只是一个理论上的可能性的大小.
例1 下列说法正确的是(　　)
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩,则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
探究一 对概率概念的深入理解
答案： D
解析： 一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;
中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
小结 对概率的深入理解
1.概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值.
2.由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
例2 下面是某批乒乓球质量检查结果表:
(1)在上表中填上优等品出现的频率;
(2)结合表中数据估计该批乒乓球优等品的概率.
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出现的频率
探究二 概率与频率的关系及求法
解： (1)
(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95.
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
小结 1.由统计定义求概率的一般步骤:
(1)确定随机事件A发生的次数nA(n为试验的总次数);
(2)由Fn(A)= 计算频率Fn(A);
(3)由频率Fn(A)估计概率P(A).
2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.
延伸探究1 例2中若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少
解： 由优等品的概率的估计值为0.95,可知抽取1 700只乒乓球时,优等品数量大约为1 700×0.95=1 615.
延伸探究2 例2中若检验得到优等品数量为1 700只,则抽取数量大约为多少
解： 由优等品概率的估计值为0.95,可知抽取数量大约为1 700÷0.95≈1 789.
例3 “绿水青山就是金山银山”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容.某社团在一次研学旅活动中,为了解某苗圃基地的红豆杉幼苗生长情况,从基地的树苗中随机抽取了60株测量高度(单位: cm),经统计,树苗的高度均在区间[29,41]内,将其按[29,31),[31,33),[33,35),[35,37),[37,39),[39,41]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图:
(1)估计树苗高度在区间[31,33]的概率;
(2)该社团决定从树苗的高度在[36,41]中采用分层抽样的方法抽取5株树苗带回学校栽种,然后再从这5株树苗中随机抽取3株跟踪研究,求恰有1株树苗高度在[37,39)的概率.
探究三 频率与概率的综合问题
解： (1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1,
则(0.025+2a+0.075+0.1+0.2)×2=1,解得a=0.05.
因此树苗高度在区间[31,33]的频率为0.05×2=0.1,
由频率估计概率可知树苗高度在区间[31,33]的概率约为0.1.
记树苗高度在[36,37)内的2株为a1,a2,在[37,39)内的2株为b1,b2,[39,41] 内的1株为c,则从5株树苗中随机抽取3株的样本点有(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,c),(a1,b1,b2),(a1,b1,c),(a1,b2,c),(a2,b1,b2),(a2,b1,c),
(a2,b2,c),(b1,b2,c),共10种,其中恰有1株树苗高度在[37,39)的有6种,
故所求概率为
小结 1.概率和统计的交汇题在统计方面常用频率估计概率,在概率方面一般是归结为古典概型的知识.
2.求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,一般步骤为:
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;
(2)判断事件是否为古典概型;
(3)选用合适的方法确定样本点个数;
(4)代入古典概型的概率公式求解.
1.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则(　　)
A.正面朝上的概率为0.6
B.正面朝上的频率为0.6
C.正面朝上的频率为6
D.正面朝上的概率接近于0.6
答案： B
解析： 0.6是正面朝上的频率不是概率.
2.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用C表示抽到次品这一事件,则下列说法正确的是(　　)
答案： B
答案： A
4.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率一定是事件A发生的概率
B.频率是一个比值,但概率不是
C.频率是不能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验
次数的理论值
D.频率是概率的估计值,概率是频率的稳定值
答案： CD
解析： 频率是一个不确定的值,随试验次数的变化而变化,但具有相对的稳定性.
而概率是一个确定的值,不随试验次数的变化而变化,但当试验次数无限增大时,频率
趋向于概率.因此CD是正确的.
5.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关
信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,
则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是　　　　.
答案： 0.03
解析： 这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为 =0.03,此频率值为概率的近似值.
6.某同学掷一枚硬币10次,共有7次反面向上,于是他指出:“掷一枚硬币,出现反面向上的概率应为0.7”.你认为他的结论正确吗 为什么
解： 不正确,掷一枚硬币10次,有7次反面向上,就此得出“反面向上”的概率为0.7,显然是对概率的统计性定义的曲解.因为概率是随机事件的本质属性,不随试验次数的改变而改变,用频率的稳定值估计概率时,要求试验的次数足够多.
频率与概率
随机事件的概率
频率与概率之间的关系
用频率估计概率

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