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第6章 数学建模
1.通过参与数学建模的全过程,了解数学建模的概念,掌握数学建模的基本过程.(数学建模)
2.在探究数学建模的过程中,进一步体会函数模型在现实生活中的应用,感受数学的应用价值.(数据处理)
挂在墙上的一幅画的上边沿A离地面a m,画的下边沿B离地面b m,
某人的眼睛C离地面c m(c问:这个人站在离墙多远的地方看画AB时的视角最大
知识点:
1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤
(1)观察实际情景:对实际问题中的变化过程进行分析;
(2)发现和提出问题:析出常量、变量及其相互关系;
(3)收集数据、分析数据:明确其运动变化的基本特征,从而确定它的运动变化类型;
(4)选择函数模型:根据分析结果,选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;
(5)求解函数模型:通过运算推理,求解函数模型;
(6)检验模型:利用函数模型的解说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的.
2.数学建模活动的基本过程
名师点析 数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设,并运用合适的数学工具得到的一个数学结构.而数学建模过程,则是应用数学方法,通过建立数学模型来解决实际问题的过程.
例1 为了研究某传染病有关指标的变化,现有学者给出了如下的模型:假定初始时刻
的病例数为N0,平均每个病人每天可传染给K个人,平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天,在L天之内,病例数目的增长随时间t(单位:天)的关系式为N(t)=N0(1+K)t,若N0=2,K=2.4,则利用此模型预测第5天的病例数大约为(　　)
(参考数据:log1.4454≈18,log2.4454≈7,log3.4454≈5)
A.260 B.580 C.910 D.1 200
答案：C
解析：∵N0=2,K=2.4,N(t)=N0(1+K)t,∴N(t)=2(1+2.4)t,∵log3.4454≈5,∴3.45≈454,
∴当t=5时,N(5)=2×3.45≈909,910与909比较接近.故选C.
探究一 已知函数模型解决实际问题
反思感悟 已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,明确哪些量为待定系数;
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数;
(3)利用该模型求解实际问题.
角度1　构建二次函数、分段函数模型
例2 某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的
加工费P(单位:万元)与精加工的蔬菜量x(单位:吨)有如下关系: 设该农业合作社将x(单位:吨)蔬菜进行精加工后销售,其余在市场
上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为y(单位:万元).
(1)写出y关于x的函数表达式;
(2)求当精加工蔬菜为多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.
探究二 构建函数模型解决实际问题
反思感悟 1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由
几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型.
2.分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
3.二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.
解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,
一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处
取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值
一般在区间的端点处取得.
角度2　构建指数函数模型
例3 某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t h之间的关系为P=P0e-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量,e是自然对数底数).经过5个小时后,经测试,消除了20%的污染物.
问:(1)15小时后还剩百分之几的污染物.
(2)污染物减少36%需要花多长时间.
要点笔记 求解指数函数模型问题,应注意利用指数函数的性质解题.
解： (1)由题意得P=P0e-5k=(1-20%)P0,则e-5k=0.8,
故当t=15时,P=P0e-15k=P0(e-5k)3=(80%)3P0=51.2%P0.
故15个小时后还剩51.2%的污染物.
角度3　构建对数函数模型
例4 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型: (t为时间,单位为分钟,θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ为冷却后温度).假设一杯开水温度θ1=100 ℃,
环境温度θ0=20 ℃,常数k=0.2,大约经过(　　)分钟水温降为50 ℃.
(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案： A
解析： 由温度冷却模型函数,
=5(3ln 2-ln 3)≈5分钟.故选A.
要点笔记 求解与对数函数模型有关的问题,应注意指数式与对数式的互化
以及对数的运算性质.
例5 运货卡车以x千米/时的速度匀速行驶300千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油(4+ )升,司机的工资是每小时46元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用y最低 求出最低费用的值.
例6 某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,若预计年利润与年投资成本的比值低于10%时,则该企业就考虑转型.下表显示的是某企业几年来利润y(单位:百万元)与年投资成本x(单位:百万元)变化的一组数据:
年份 2017 2018 2019 2020 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,且b≠1);
③y=loga(x+b)(a>0,且a≠1).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系;
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时,该企业是否要考虑转型.
探究三 函数模型的拟合
将(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b)(a>0,且a≠1),
∴y=log2(x-1).
当x=9时,y=log28=3;当x=17时,y=log216=4.
故可用③来描述x,y之间的关系.
(2)令log2(x-1)≥6,则x≥65.
∵年利润与年投资成本的比值 <10%,∴该企业要考虑转型.
反思感悟 若已知问题中给出两个或多个函数模型,则常用待定系数法求出函数模型中的参数,然后再用另外的数据拟合,一般将由函数模型求出的值与实际值差的绝对值较小的函数作为拟合函数.
1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
(注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(　　)
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
加油时间 加油量/升 加油时累计里程/千米
2023年10月1日 12 35 000
2023年10月15日 60 35 600
答案： C
解析： 因为第二次加满油箱,加了60升,
所以从第一次加油到第二次加油共用油60升,行驶600千米,
所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 =10升,所以选C.
2.视力检测结果有两种记录方式,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表:
现有如下函数模型:①y=5+lg x,② 表示小数记录数据,y表示五分记录
数据.请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(附100.3=2,5-0.22=0.7,10-0.1=0.8)(　　)
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
答案： B
解析： 由表格中的数据可知,函数单调递增,故合适的函数模型为y=5+lg x,
令y=5+lg x=4.7,解得x=10-0.3=0.5.故选B.
3.某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(单位:桶)与销售单价x(单位:元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大,销售单价应定为　　　　　元.
答案： 10
解析： 设该桶装水经营部每日利润为W,则W=(-30x+450)(x-5)-420,
整理得W=-30x2+600x-2 670=-30(x-10)2+330,则当x=10时,利润最大.
4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,
按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为　　　　　 m3.
答案： 13
解析： 设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得
5.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)
满足函数关系式C=4+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x
满足函数关系式
已知每日的利润L=S-C,且当x=4时,L=7.
(1)求k.
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大 请求此最大值.
数学建模
已知函数模型解决问题
构建函数模型解决问题
函数模型的拟合
二次函数、分段函数模型
指数函数模型
对数函数模型
模型

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