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第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.2 不等式的性质
1．复习引入
不等式具有哪些性质？你能分别用文字
语言和符号语言表示吗？
性质1　当不等式两边加（或减）同一个数
（或式子）时，不等号的方向不变．
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变．
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
已知3≤x≤5,6≤y≤8,求x+y和x-y的取值范围
分析：当x,y都取最小值时,x+y取最小值；
当x,y都取最大值时,x+y取最大值。
∴9≤x+y≤13
当x取最小值3,y取最大值8时,x-y取最小值-5；
∴-5≤x-y≤-1
当x取最大值5,y取最小值6时,x-y取最小值-1；
一、不等式的概念
像这样用“＜”或“＞” 表示不等关系的式子，叫做不等式。
注意：(1)在不等式“a>b”或“aa叫做不等式的左边，b叫做不等式的右边。
(2)不等号的开口所对的数较大，
不等号的尖头所对的数较小。
(3)不等式中不一定含有未知数。
1＞ 0 、x＜ 2x+1
常见的不等符号
种类 符号 实际意义 读法 举例
小于号 < 小于、不足、不够、少于、低于 小于 1+1<3
大于号 > 大于、超过、高出、多于、高于 大于 20+8>16
小于等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于 （不大于） x ≤ 4
大于等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于 （不小于） x ≥ 8
不等号 ≠ 不等于 不等于 10≠8
除了“<” , “>”这两个符号以外，还有什么表示不等的符号？
大于（ ） 小于（ ） 不大于（ ）
至少（ ） 不超过（ ） 至多（ ）
不小于（ ） 正数( ） 负数（ ）
非负数（ ）
非正数（ ）
解题开启智慧之门：
<
>
≤
≥
≤
≤
≤0
≥
≥0
>0
<0
几种常见的不等式
1.绝对不等式：在任何条件下都 成立 的不等式。
2.条件不等式：在一定条件下 成立 的不等式。
3.矛盾不等式：在任何条件下都 不成立 的不等式。
如：2＞-1
如：X-2＞0，当X＞2时，不等式成立；
当X≤2时，不等式不成立。
如：2＜-1
等式VS不等式
不等式：
用“=”连接的表示相等关系的式子叫做等式
用“不等号” 表示不等关系的式子，叫做不等式.例如：120<30,50>33,x<30,120>50x 等。
等式：
不等号:＜、＞、≤、≥、≠
判断下列式子哪些是不等式？
(1)0>2
(2)a2+1＞ 0
(3)3x2+2x
(4)x＜ 2x+1
(5)x=2x-5
(6)a+b≠c
是
是
是
是
不是
不是
练习1
是
是
是
是
是
不是
练习2
例2.某长方形状的容器长5 cm，宽3cm，高10cm．容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水.用V（单位：cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围.
分析：
新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积；
新注入水的体积V不能是负数.
解：
在数轴上表示V的取值范围如下：
0
150
1.现有不等式的两个性质：
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0)．
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；
解：
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0)．
解：
当a＞0时，
a+a＞0+a时，
即2a＞a
当a＜0时，
a+a＜0+a时，
即2a＜a
当a＞0时，
当a＜0时，
2＞1，
2＞1，
得2×a＞1×a，
即2a＞a
得2×a＜1×a，
即2a＜a
2.已知﹣2≤x+y≤3且1≤x﹣y≤4，
求z=2x﹣3y的取值范围.
由﹣2≤x+y≤3且1≤x﹣y≤4得
解：
﹣2+1≤(x+y)+(x﹣y)≤3+4
﹣3≤-x﹣y≤2
即﹣1≤2x≤7
﹣2≤-2y≤6
由﹣2≤x+y≤3得
由1≤x﹣y≤4和﹣3≤-x﹣y≤2得
∴﹣3≤-3y≤9
∴﹣4≤z=2x-3y≤16
3.已知x-y=2,且x＞1,y＜0,试确定x+y的取值范围.
解：
∵x -y =2 ∴x = y+2
∵x＞1 ∴y+2＞1
∴y＞-1
∵y＜0 ∴-1＜y＜0
同理 1＜x＜2
∴ 0＜x + y＜2
解：
∵x -y =a ∴x = y+a
∵x＜-1 ∴y+a＜-1
∴y＜-1-a
∵y＞1 ∴1＜y＜-1-a
同理 a+1＜x＜-1
∴ a+2＜x + y＜-2-a
4.已知y＞1，x＜-1,x-y=a成立,试确定x+y的
取值范围(结果用含a的式子表示).
5．归纳总结
（1）如何利用不等式的性质解简单不等式？
（2）依据不等式性质3解不等式时应注意
什么？
（3）请说明符号“≥”和“≤”的含义.

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