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第二十七章
27.2.1 相似三角形的判定
1. 两个三角形全等有哪些判定方法？
2. 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）
(2)平行于三角形一边的直线
(3)三边对应成比例
新知导入
知识点 1
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
知识探究
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′, 量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长,它们的比等于k吗 另外两组对应角∠B与∠B′, ∠C与∠C′是否相等 改变∠A或k值的大小,再试一试,是否有同样的结论
A
B
C
A′
B′
C′
知识探究
在△ABC和△A’B’C’中, ？
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
∵ ∴
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC
【证明】在△ABC的边AB，AC上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，
连接DE，而∠A=∠A′，这样△ADE≌△A′B′C′
知识探究
三角形相似判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何语言：
∵ ∴△ABC∽△A’B’C’
A
B
C
C′
B′
A′
知识探究
A
B
C
A’
B’
C’
B
A
D
B
A
C
在△ABC和△A’B’C’中, 相似吗？
证明三角形全等时讨论过若已知条件SSA，
这两个三角形不一定全等。
所以△ABC不一定全等于△A’DE，
则相似
反例：
归纳总结
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
知识探究
已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似，并说明理由.
∵
又 ∠A＝∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
素养考点 1
利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似
△ABC∽△A'B'C ' .
理由如下：
解：
∴
知识探究
1. 已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
解：
∴△ABC∽△A'B'C'
△ABC∽△A'B'C' .
理由如下：
∴
∠A=∠A'
又∵
∵
巩固练习
解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
C
B
E
D
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
∴
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
素养考点 2
利用三角形相似求线段的长度
提示：解题时要找准对应边.
知识探究
2.如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,求CD 的长．
A
B
C
D
解：（1）CD :CB＝BC :AC
（2）设CD＝x,则CA＝x＋2．
当△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,
有CD:CB＝BC:AC，即 ,
所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．
但x２＝－3不符合题意,应舍去．
所以CD＝1．
巩固练习
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
A
B
C
D
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ：∠ACB=90°．
∵
素养考点 3
利用三角形相似求角
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
知识探究
3.如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别是AB、AC 上的点，AE：AD＝AB：AC．
试问:DE 与AB 垂直吗 为什么
A
B
C
D
E
证明：DE⊥AB．理由如下:
∵　AE：AD＝AB：AC,
∴ 　 ．
又　∠A＝∠A,
∴　△ABC∽△AED．
∴　∠ADE＝∠C＝90°．
∴　DE 与AB 垂直．
巩固练习
1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
课堂检测
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
∴
课堂检测
3. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
课堂检测
如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5， ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ，
∴
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
课堂检测
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下：
解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴AD=7.8-4.8=3. ∵
∴这两个三角形不相似.
你同意他的判断吗？请说明理由.
课堂检测
解：他的判断是错误的.
∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴AD=7.8-4.8=3.
∵ ， ，
∴ ．又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB ．
新课讲解
知识点1 相似三角形对应线段的比
合作探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
新课讲解
练一练
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ .
2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
新课讲解
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
结论
相似三角形周长的比等于相似比.
新课讲解
知识点2 相似三角形面积的比
合作探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
新课讲解
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
新课讲解
结论
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
课堂小结
相似三角形性质的运用
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
当堂小练
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
当堂小练
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
如图，两个三角形相似，则：
相似比k＝对应边的比＝　 　的比＝　 的
比＝　 　的比．
　对应角平分线　
　对应中线
相似三角形对应线段的性质
　对应高　
小结：一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比.
(1)对应角平分线的比等于　 　；
(2)对应边上的高的比等于　 　；
(3)对应边上的中线的比等于　 　．
　2∶3　
　2∶3　
1．(人教9下P37、北师9上P106)如图，若△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，则：
　2∶3　
相似三角形周长的比＝　 　．
相似三角形周长的性质
　相似比　
2．若△ABC∽△DEF，周长比为2∶1，则下列说法错误的是( )
A．相似比为2∶1
B．对应中线的比为2∶1
C．对应角的比为2∶1
D．对应高的比为2∶1
C
相似三角形面积的比＝　 　．
相似三角形面积的性质
　相似比的平方　
3．若△ABC∽△DEF，且面积比为1∶2，则△ABC与△DEF的相似比为( )
A．1∶2　 B．1∶4
C．1∶ D．∶1
C
小结：相似三角形对应线段、周长和面积的性质的简单综合，注意其中只有面积比不同.
4．【例1】若△ABC∽△DEF，面积比为9∶1，则下列说法正确的是( )
A．相似比为9∶1
B．对应中线的比为9∶1
C．周长比为9∶1
D．对应角的比为1∶1
D
小结：应用相似三角形的性质求三角形的面积比.
A． B． C． D．
5．【例2】(2024昆明模拟)如图，在△ABC中，D，E分别为线段BC，BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝( )
B
6．【例3】如图，在 ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且AF＝2FD．
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△CEB的面积为9，求 ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，
∴△ABF∽△CEB．
(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，∴DF∶BC＝1∶3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，
∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2，
∵△CEB的面积为9，
∴△FDE的面积为1，∴△ABF的面积为4，
∴ ABCD的面积＝9－1＋4＝12．
(2)若△CEB的面积为9，求 ABCD的面积．
小结：求面积的一种新方法——应用相似三角形面积的性质.
7．若△ABC∽△A'B'C'，则相似比k等于( )
A．A'B'∶AB
B．∠A∶∠A'
C．
D．△ABC的周长∶△A'B'C'的周长
D
A． B． C． D．
8．如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，若，则的值为( )
C
★9． 0.50 (人教9下P43改编、北师9上P112改编)如图，已知DE∥BC．
(1)若＝2，S△ADE＝8 cm2．
①求证：△ADE∽△ABC；
②求S△ABC和；
(2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则AD∶DB等于多少？
(1)若＝2，S△ADE＝8 cm2．
①求证：△ADE∽△ABC；②求S△ABC和；
(1)①证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．
②解：∵△ADE∽△ABC，＝2，
∴，∴．
又∵S△ADE＝8 cm2，∴S△ABC＝18 cm2，
∴S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝10 cm2．
(2)解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
又∵S△ADE＝S四边形DBCE，
∴S△ADE∶S△ABC＝1∶2，
∴，∴＋1．
(2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则AD∶DB等于多少？

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