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2025 年 黑 龙 江 省 牡 丹 江 市 中 考 模 拟 卷
数 学
注意事项：
I.本试卷共6 页， 三个大题， 满分120 分， 考试时间120分钟。
2 .本试卷上不要答题， 请按答题卡上注意事项的要求， 直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．有4条线段长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
5．如图，、分别与相切于、两点，，点是劣弧上异于点、的一点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．根据广东省统计局数据，广东省年的地区生产总值为亿元，位列全国第一，年的地区生产总值为亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
7．按照以下图形变化的规律，则第15个图形中黑色正方形的数量是（　　）．
A．23 B．24 C．25 D．26
8．如图 ， 点 在 轴的正半轴上， 以 为边向上作矩形 ， 过点 的反比例函数 的图象经过 的中点 ． 若 的面积为 1 ， 则 的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（　　）
A．74° B．72° C．70° D．68°
10． 如图，二次函数的图象与x轴分别交于，两点，与y轴正半轴交于点C，下列判断：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上的两个点，则．其中正确的是（　　）
A．②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①④⑤
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
11． 如果 有意义， 那么 的取值范围是　 　
12．如图，已知，E为的中点，若，则　 　．
13．如图，O 为坐标原点，点A是抛物线（）上一点，轴于点 B，，交x轴于点 C．
（1）若点A 的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为　 　．
（2）若线段与抛物线的交点为 D，则　 　．
14．如图是某车轮的部分简单示意图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．过点O作弦的垂线，D为垂足，交于点C．经测量， cm， cm，则此车轮半径为　 　 cm．
15．甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 45 109 181 110
乙 45 111 108 110
某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是　 　．
16．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，以A为圆心，2为半径作OA，M是OA上一动点，取线段BM的中点N，连结CN，则CN的最大长度为　 　
18．如图，在正方形中，是对角线，点是的中点，点在上，若，，则线段的长为　 　．
三、解答题（共66分）
19．先化简，再求值：，其中为的整数．
20．由绿地集团开发的“大玉米”已经成为郑州的地标性建筑，是中原第一高楼．某数学兴趣小组利用所学知识测量大玉米的高度．如图所示，在水平面的C处测得大玉米A处的仰角为45°，再沿CB方向前进20m到达E处，测得大玉米顶部D的仰角为58°，若已知AD的高度为85m，求大玉米BD的高度．（精确到1m，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．）
21．本期开学以来，初三 2015 级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A 等：优秀；B 等：良好；C 等：及格；D 等：不及格），并将结果汇成了如图 1、2 所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是　 　 ；
（2）图 1 扇形图中 D 等所在的扇形的圆心角的度数是　 　 ，并把图 2 条形统计图补充完整；
（3）我校九年级有 1800 名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　 　 ；
（4）已知得 A 等的同学中有一位男生，体育老师想从 4 位 A 等的同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验， 请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
22． 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E为菱形外一点，连接、，且，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的面积．
23．已知抛物线经过A(0，4)，B(2，0)两点.
（1）求c的值及a，b满足的关系式.
（2）若抛物线同时经过两个不同的点M(k，m)和N(-2-k，m)，求b的值.
（3）若抛物线在A，B两点间y随x的增大而减小，求a的取值范围.
24．我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程与哥哥跑步的时间之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是______，哥哥让小明先跑了______米，小明后来的速度为______．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥几秒时，两人相距10米？
25．转化是解决数学问题常用的思想方法之一， 它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：
如图 1， 在 中， ．
（1）【基础巩固】 将图 1 中 绕点 按顺时针方向旋转 得到 (如图 2)， 连结 ．求证： ．
（2）【思考探究】 将图 1 中 绕点 按顺时针方向旋转 并缩小得到 (如图 3)， 使 ， 连结 ．
①求证： ．
②用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】 将图 1 中 绕点 按顺时针方向旋转某个角度 (小于 ) 并缩小得到 (如图 4)， 使 ， 连结 ． 当 时， 求 的值．
26．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，某公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，已知购买A型和B型两种环保型公交车每辆的价格及每辆预计在某线路的年载客量如表：
A型 B型
价格（万元/台） x y
年载客量/万人次 60 100
若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车3辆，共需650万元；若购买A型环保公交车3辆，B型环保公交车2辆，共需600万元．
（1）求x、y的值；
（2）如果该公司计划购买A型和B型环保公交车共10辆，且总费用不超过1250万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
27．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，是等腰直角三角形，，，交y轴负半轴于点D．
（1）如图1，点C的坐标是，点B的坐标是，直接写出点A的坐标；
（2）如图2，交x轴的负半轴于点E，连接，交于F．
①求证：；
②求证：点D是的中点；
③求证：．
答案解析部分
1．B
解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．B
解：A、原式=a-b，故A错误，
B、原式=3a3，故B正确；
C、原式=a2+2ab+6，故C错误；
D、原式=a6，故D错误；
故答案选：B.
A.多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；
B.单项式乘以单项式，系数相乘，同底数幂相乘；
C.完全平方公式：(a ± b)2= a2±2ab+b2；
D.幂的乘方，底数不变，指数相乘.

3．B
4．A
5．D
6．B
解：设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程，
，
故答案为：B．
设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
7．A
解：根据所给图形可知，
第1个图形中黑色正方形的数量是：2＝2；
第2个图形中黑色正方形的数量是：3＝2＋1；
第3个图形中黑色正方形的数量是：5＝2＋1＋2；
第4个图形中黑色正方形的数量是：6＝2＋1＋2＋1；
第5个图形中黑色正方形的数量是：8＝2＋1＋2＋1＋2；
…，
∴第n个图形中黑色正方形的数量是：，
当n＝15时，（个），
∴第15个图形中黑色正方形的数量是23个．
故答案为：A．
先根据前几幅图中黑色正方形的数量与序号的关系可得规律第n个图形中黑色正方形的数量是：，再求解即可.
8．D
解：∵ 矩形 中，E为BC的中点，
∴AD=BC，CE=CB，
设E的坐标为，则C的坐标为，
∴D的纵坐标为，横坐标为a，
∴D的坐标为，
∴，，
则，解得k=4，
故答案为：D.
根据已知条件，设E的坐标为，则C的坐标为，结合 的面积为 1 ，分别求出CD、CE的长度即可求解.
9．B
解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
10．D
解：由图象可得，a<0，c>0，
二次函数的图象与x轴分别交于，两点，
对称轴为直线
b=-2a，
2a+b=0，b>0，
abc<0，
故 ①④ 正确；
二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
，
，故 ② 错误；
a<0，c>0，
c-a>0，故 ③错误；
由图象可得，，
，故 ⑤ 正确；
正确的有 ①④⑤ ，
故答案为：D.
利用二次函数于x轴的交点得到对称轴的值，结合a，c的正方形可判断①④ 正确；根据二次函数与x轴有两个不同的交点，可判断② 错误；由a，b，c的正负形可判断③错误；由图象可判断⑤ 正确；即可求解.
11．x>4
解：若 有意义 ，则，即x-4＞0.
∴x＞4.
故答案为：x>4.
二次根式有意义的条件是根号下的数为非负数，而本题中，二次根式处于分母位置，则相当于多了一个限制条件，二次根式不为0，因此，问题转化成求d的x的取值范围.
12．5
解：∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5.
由证得，再根据AAS证得，利用全等三角形的性质求解。
13．；
解：（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，得，
故直线的解析式为，
∵，
故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式，
∴，
故答案为：．
（2）根据抛物线，设点，则直线解析式为，
，且轴，
，
则直线解析式为，
根据题意，得，解得，（舍去），
过点D作轴于点G，
则，
根据平行线分线段成比例定理，得，
故答案为：．
（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，代入求得，根据，故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式．
（2）根据抛物线，设点，根据题意，得，得，（舍去），过点D作轴于点G，则，根据平行线分线段成比例定理，得，解答即可．
14．75
15．①②③
甲、乙两班的平均数都是110，故①符合题意，
∵甲班的中位数是109，乙班的中位数是111，乙班中位数比甲班的大，
∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，故②符合题意，
∵甲班的方差大于乙班的方差，
∴甲班的波动情况大，故③符合题意；
综上所述，①②③都符合题意，
故答案为①②③
根据平均数、中位数、方差的意义分别进行分析，即可得出答案。
16．8
解：解不等式得，x>2，
解不等式得，x>a-2，
∵不等式组的解集为， 故此时a-2≤2，解得a≤4，
解分式方程得，，
又∵该分式方程的解为正整数，
∴a-1能够被6整除，解得a=2或4或7，
结合a≤4，
∴符合题意的a的值为2，4，
∴满足条件所有整数a的乘积为8.
故答案为：8.
用含a的式子表示一元一次不等式组的解集，根据题意分析此时a的取值范围，需注意取等符号；其次同理用含a的式子表示分式方程的解，进而根据式子结构分析解为正整数，需注意排除分式增根情况；结合二者即可得出符合情况的整数a的乘积.
17．3.5
解：取的中点Q，连接，，，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，，
，
∵，N为的中点，，
，
∴，
，
∴的最大值为3.5，
故答案为：3.5
取的中点Q，连接，，，先根据勾股定理求出AB，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CQ，再根据三角形中位线定理得到NQ，从而根据三角形三边关系即可得到，代入即可求解。
18．
19．解：
，
要使分式有意义，，，，
不能为，，，
为的整数是，，，，，
或，
当时，原式，
当时，原式，
即分式的值是或．
先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
20．解：设AB为，
在Rt中，
解得，
答：大玉米BD的高度约为280m。
设AB为，根据等腰直角三角形的性质得到，则，
，再根据正切函数结合题意代入即可求解。
21．（1）25
（2）43.2°
（3）216人
（4）解：画树状图为：
∴共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6，
∴选中的两人刚好是一男一女的概率＝=．
解：（1）根据题意可得本次抽样测试的学生人数为10÷40%＝25（人），
故答案为：25；
（2）根据题意可得：D等级的人数为25 4 10 8＝3，
∴D等所在的扇形的圆心角的度数＝360°×＝43.2°，
条形统计图补充为：
故答案为：43.2°.
（3）根据题意可得：1800×＝216（人），
∴估计不及格的人数为216人；
故答案为：216人.
（1）利用“B等级”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先利用总人数求出“D等”的人数并作出条形统计图即可；
（3）先求出“不及格”的百分比，再乘以1800可得答案；
（4）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
22．（1）证明：，，
四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形，
，
平行四边形为矩形．
（2）解：∵菱形的边长为4，，
，
，
由（1）已证：四边形为矩形，
，
，
点到直线的距离为，即的边上的高为2，
则的面积为．
（1）先根据平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，进而根据菱形的性质结合矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，从而运用勾股定理求出OC，再根据矩形的性质得到，再根据平行线间的距离结合题意得到点到直线的距离为，即的边上的高为2，从而结合三角形的面积即可求解。
23．（1）解：将点代入抛物线的解析式可得：则c的值为4，a，b满足：.
（2）解：∵ 抛物线同时经过两个不同的点M(k，m)和N(-2-k，m)， ∴M，N两点关于对称轴对称，则即①，又由（1）知：②，根据①②可解得：b=-1.
（3）解：①当抛物线开口向下时， ∵抛物线在A，B两点间y随x的增大而减小，∴又由（1）知：，解得：；②当抛物线开口向上时， ∵抛物线在A，B两点间y随x的增大而减小，∴又由（1）知：，解得：，综上所述： a的取值范围为或.
24．（1）8，14，3
（2）7秒追上小明
（3）哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米
25．（1）证明： 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，
是等边三角形，
．
（2）①证明： 和 都为等腰直角三角形，
绕点 按顺时针方向旋转 ，
②解 ： ， 理由如下： 过点 作 于点 ，
，
，
（3）解： 延长 交 于点 ，
，
设 ， 则 ，
（1）根据旋转性质可得，再根据等边三角形判定定理可得 是等边三角形，则OC=OB，即可求出答案.
（2）①根据等腰直角三角形性质可得，再根据旋转性质可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②过点 作 于点 ，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，由特殊角的三角函数值可得，则，再根据相似三角形性质可得，再根据特殊角的三角函数值及锐角三角函数定义即可求出答案.
（3）延长 交 于点 ，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，由全等三角形判定定理可得，则 ，即，，设 ， 则 ，根据勾股定理可得再根据边之间的关系即可求出答案.
26．（1）解：由题意，得，
解得；
（2）解：设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆，
由题意，得，
解得5≤m≤8，
∵m为整数，
∴有四种购车方案
方案一：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆；
方案二：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
方案三：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
方案四：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆．
（3）解：设购车总费用为w万元
则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，
∵5≤m≤8且m为整数，
∴当m＝5，6，7，8时，w分别1250，1200，1150，1100
∴m＝8时，w最小＝1100，
∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元．
（1）基本关系：金额=价格×数量，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10-m)辆，根据题意列一元一次不等式组，即可求解；
（3）设购车总费用为w万元，根据总费用的数量关系建立w关于m的函数，再根据一次函数的性质求解即可．
27．（1）解：如图1中，过点A作轴于点H．
∵点C的坐标是，点B的坐标是，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）证明：①，，
，
，
，
∵，
，
，
在和中，
，
，
；
②如图2中，过点F作于点N，过点A作于点M．
，
，，
，
在和中，
，
，
，
同法可证，，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点；
③由②可得，，，
∴，，
∴，
，，
（1）如图1中，过点A作轴于点H．通过AAS证明，根据三角形的性质可得，，求得线段AH、OH，即可求解；
（2）①三角形内角和定理得到，再通过AAS证明，即可得出结论；
②过点F作于点N，过点A作于点M．再通过AAS证明，，，利用全等三角形的性质即可求证；
③由②可得，，，根据线段之间的关系得到，再根据，，即可求解.

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