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第十八章平行四边形章节期中复习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．各角都相等 B．各边都相等
C．有两条对称轴 D．对角线相等
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
5．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
6．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　 　．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 　 　．
9．如图，菱形ABCD中，AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝ 　 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，点P是AB边上的一点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 　 　 ．
三、解答题
11．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AO＝CO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16．
①求∠BOA的度数；
②求四边形ABCD的面积．
13．如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
15．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，AF⊥BE，垂足为M．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若正方形ABCD的边长是8，，点N是BF的中点，求MN的长．
16．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．
17．如图1，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）如图2，连接AC，且AC＝BC，O为AC的中点．
①BC的中点为M，连接EO，EM，试判断四边形EMCO的形状，并说明理由；
②如图3，AG平分∠BAC交CE于点G，连接GO，若∠AGO＝90°，AB＝8，求AC的长．
18．如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，EF与HC交于点O．
（1）求证：四边形CFHE是菱形；
（2）如图2，AB＝4，BC＝8，点H与点A重合时，求OF的长．
19．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：∵矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都相等，对角线互相平分且相等，有两条对称轴，
菱形的性质为：四边相等，对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分，有两条对称轴，
∴菱形和矩形都具有的性质是：对边平行且相等，对角线互相平分，有两条对称轴，
故选：C．
3．【解答】解：A、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误；
B、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
故选：D．
4．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC，BO＝DB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，
∵AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AO＝4cm，BO＝3cm，
∴AB＝＝5cm，
∴菱形ABCD的周长是：5cm×4＝20cm，
故选：B．
6．【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
二、填空题
7．【解答】解：如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，有两个内角的度数比为1：4，
∴AD∥BC，∠A＝4∠B，
∴∠A+∠B＝180°，
∴4∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠A＝144°，
∴平行四边形ABCD中较小内角的度数为36°，
故答案为：36°．
8．【解答】解：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB，
∵点B的坐标为（0，﹣3），
∴OB＝3，
∴AB＝2OB＝6，
∴，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC8＝4（cm），OB＝ODBD6＝3（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5（cm），
∵S菱形ABCDAC BD＝AB DH，
∴DH（cm），
故答案为：cm．
10．【解答】解：如图，连接PC．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，
∴AB2，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠C＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝PC，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时PC的最小值，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EGOB．
12．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：①∵BD＝16，
OB＝OD＝8，
∵AB＝10，OA＝6，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠BOA＝90°；
②由①可知，∠BOA＝90°，
∴BD⊥AC，
∵OA＝6，
∴AC＝12，
∴S四边形ABCDBD AC16×12＝96．
13．【解答】（1）证明：∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝90°，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
又∵CP＝CD，CQ＝CQ，
∴△DCQ≌△PCQ（SAS），
∴∠D＝∠QPC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵CP＝CD，
∴设CP＝CD＝x，则PB＝x﹣2，
在Rt△BCP中，BC2+BP2＝CP2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴CD＝5．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，
∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝ODBD＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴OC6，
由（1）可知，四边形EFGO是矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴OG⊥BC，
∴S△OBCBC OGOB OC，
∴OG4.8，
即OG的长为4.8．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠DAF+∠AEM＝90°，
∵∠AEM+∠ABE＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AE＝DF；
（2）解：∵，
∴ED＝3AE，
∴AD＝4AE＝8，
∴AE＝2＝DF，
∴CF＝6，
∴BF＝＝10，
∵N是中点，∠BMF＝90°，
∴MN＝＝5．
16．【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO＝45°，
∴∠DAO＝∠ADO＝45°，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，
∴AC BD＝72，
∴×4BO2＝72，
∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，
∴AC＝12，
∵BF＝4，
∴OF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积＝AC EF＝24，
在Rt△AOE中，AE＝＝2，
设点F到线段AE的距离为h，
∴AE h＝24，
即2h＝24，
∴h＝．
即点F到线段AE的距离为．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：①四边形EMCO为菱形．理由：
∵O为AC的中点，E为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC．
∵E为AB的中点，BC的中点为M，
∴EM∥AC，EM＝AC，
∴四边形EMCO为平行四边形．
∵AC＝BC，
∴EO＝EM，
∴四边形EMCO为菱形．
②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，如图，
∵AC＝BC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，AE＝AB＝4．
∵AG平分∠BAC交CE于点G，
∴∠GAE＝∠GAC，
∵GM⊥AC，GE⊥AB，
∴GE＝GM．
在Rt△AEG和Rt△AMG中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AMG（HL），
∴AE＝AM＝4．
∵CE⊥AE，OH⊥EC，
∴OH∥AE，
∵O为AC的中点，
∴OH＝AE＝2．
∵∠AGO＝90°，
∴∠AGE+∠OGC＝90°，∠AGM+∠OGM＝90°，
∵Rt△AEG≌Rt△AMG，
∴∠AGE＝∠AGM，
∴∠OGM＝∠OGH，
∵OM⊥GM，OH⊥GH，
∴OM＝OH＝2，
∴OA＝AM+OM＝6，
∵O为AC的中点，
∴AC＝2OA＝12．
18．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
即HE∥CF，
∴∠HEF＝∠EFC，
由翻折可知：∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形；
（2）解：点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝BC﹣BF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CE＝AF＝8﹣x＝5，
∵CD＝AB＝4，
∴DE＝＝＝3，
如图，过点F作FM⊥AD于M，得矩形ABFM，矩形CDMF，
∴AM＝BF，DM＝CF，MF＝AB＝4，
∴ME＝8﹣3﹣3＝2，
由勾股定理得，EF＝＝＝2，
∴OF＝EF＝．
19．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF，
∴正方形DEFG的面积DF2（）2．
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