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第十七章勾股定理期中复习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a：b：c＝1：：3 D．∠A+∠B＝∠C
2．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2
6．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是BC上一点，且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）
A． B．5cm C． D．7cm
二、填空题
7．有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于　 　．
8．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为 　　．
9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，底边BC上的高AD＝8，底边BC＝12，则腰AB上的高CE＝　 　．
10．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为 　 　．
11.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．
三、解答题
12．如图，武汉光谷为庆祝“两会”的召开，园艺工人要在二妃山一块Rt△ABC（∠ACB＝90°）的空地上划出一个△ADC后，种植出如图中阴影部分图案的草坪．测得CD＝1米，AD＝2米，米，米．求图中阴影部分的面积．
13．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（4）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离．
（2）该班计划将该区域全部种植向日葵，若种植向日葵每平方米成本为12元，则该班种植向日葵的成本为多少？
14．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8．求△ABC的面积．
15．如图，在△ABC中，AC＝13cm，AB＝12cm，BC＝5cm，D是BC延长线上的点，连接AD，若AD＝15cm．
（1）求CD的长；
（2）过点C作CE⊥AD交AD于点E，求CE的长．
16．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
17．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
18．若任意三个正数a，b，c满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．
（1）下列三组数是“快乐三数组”有 　②③　（填序号）：
①3，4，7
②，，
③，1，
（2）若，，1（m≠0）构成“快乐三数组”，求m的值．
（3）如图，在四边形ADBC中，∠C＝∠D＝90°，BD＝AD，连接对角线AB，若AB的长为c，∠C的两条邻边长分别为a，b，若c﹣a，b，c+a构成“快乐三数组”，且S△ABD﹣S△ABC＝6，求AB的长．
19．阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M1（x1，y1），M2（x2，y2），我们把叫做M1，M2两点间的距离，记作d（M1，M2）．如A（﹣2，3），B（2，5），则．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）①若，，直接写出d（A，B）的值；
②当A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5时，求出a的值；
（2）①若在平面内有一点C（x，y），使式子有最小值，直接写出这个最小值；
②直接写出的最小值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
B、∵a＝2，b＝3，c＝4，32+22≠42，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
C、∵a：b：c＝1：：3，a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
D、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，
∴AC＝1﹣（﹣2）＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB，
∴点P表示的数为2，
故选：A．
3．【解答】解：由勾股定理得：BC，
∵S△ABC＝3×32×12×31×3，
又∵S△ABCBC AD，
∴BC AD＝7，
∴AD，
故选：A．
4．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝25，
则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2
3×4π（AC2+BC2﹣AB2）
＝6，
故选：A．
5．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
故选D．
6．【解答】解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′＝3cm，
∵PC′＝BC′，
∴PC′＝×6＝4cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝AC′2+CP2，
∴AP＝＝5cm．
故选：B．
二、填空题
7．【解答】解：①若4是直角边，5是斜边，那么第三边3；
②若4和5都是直角边，那么第三边．
故答案是3或．
8．【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣FG＝6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB10．
故答案为：10．
9．【解答】解：∵AB＝AC，AD是底边BC上的高，
∴BD＝DC＝6，
∴AB，
∵，
∴，
∴CE＝9.6，
故答案为：9.6．
10．【解答】解：①如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时：
最短路径为：；
②如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点时：
最短路径为：；
∵
∴最短路径为10，
故答案是：10．
11.【解答】解：如图，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD．
在△ABC和△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（AAS），
∴BC＝DE．
∵S2＝DE2，DE＝BC，
∴S2＝BC2．
∵S1＝AC2，S2＝BC2，AC2+BC2＝AB2，AB2＝1，
∴S1+S2＝1．
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
三、解答题
12．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC（米），
∵CD2+AD2＝12+22＝5＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△ACD（1）米2．
13．【解答】解：（1）连接BD，
∵∠A＝90°，
∴
＝
＝5（m），
故B、D之间的距离为5m；
（2）∵52+122＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴
＝
＝432（元），
故则该班种植向日葵的成本为432元．
14．【解答】解：∵BD2+AD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴BD2+AD2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形且∠ADB＝90°．
设CA＝CB＝x，则CD＝x﹣6．
在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2．
∴（x﹣6）2+82＝x2，解得：，即 ．
∴S△ABC＝．
15．【解答】解：（1）∵AC＝13cm，AB＝12cm，BC＝5cm，
∴AC2＝169，AB2＝144，BC2＝25，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣5＝4（cm），
∴CD的长为4cm；
（2）由（1）得CD＝4cm，∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD，
∵CE⊥AD，
∴，
∴，
∴15CE＝48，
∴，
∴CE的长为cm．
16．【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x＝，
即AD＝cm；
（2）AB＝AC＝+12＝（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE＝＝＝（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
17．【解答】解：（1）由题意可知，AC＝300米，BC＝400米，AB＝500米，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
如图1，过点C作CD⊥AB于点D，
∴S△ABCAB CDAC BC，
∴CD240（米），
答：山地C距离公路的垂直距离为240米；
（2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF，
则EC＝FC＝260米，DE＝DF，
由（1）可知，CD＝240米，
∵240米＜260米，
∴有危险需要暂时封锁，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE100（米），
∴EF＝2DE＝200（米），
即需要封锁的公路长为200米．
18．【解答】解：（1）①∵若任意三个正数a，b，c满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．，
∴3，4，7不是“快乐三数组”；
②∵，
∴，，是“快乐三数组”；
③∵，
∴，1，是“快乐三数组”，
故答案为：②③．
（2）若，，1（m≠0）构成“快乐三数组”，则：
，，
①当时，
解得，经检验是该方程的根，此时，，1三个数都是正数，构成“快乐三数组”；
②时，
解得m＝﹣2，经检验m＝﹣2是该方程的根，此时，不是正数，不构成“快乐三数组”；
③时，
解得m＝1，经检验m＝1是该方程的根，此时，，1三个数都是正数，构成“快乐三数组”；
综上所述：m＝1或．
（3）∵∠C＝∠D＝90°，若AB的长为c，∠C的两条邻边长分别为a，b，
∴a2+b2＝c2，且0＜c﹣a＜b＜c+a
∴，
∵c﹣a，b，c+a构成“快乐三数组”，
∴，
∴
，
将a2+b2＝c2代入上式，得：，
∴b＝2a，
∴，
在Rt△ABD中，BD＝AD，
由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
∴，
∴，
∵S△ABD﹣S△ABC＝6，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴．
19．【解答】解：（1）①∵A（3，0），B（0，4），
∴d（A，B）5；
②∵A（a，1），B（﹣1，4）的距离d（A，B）＝5，
∴5，
∴（a+1）2+（1﹣4）2＝52，
解得：a＝3 或﹣5；
（2）①如图，点E（﹣3，4），点F（2，4），
∵表示点C（x，y）与点E（﹣3，4）的距离，表示点C（x，y）与点F（2，4）的距离，
∴表示点C与点E、F的距离和，即CE+CF，
当点C在线段EF上时，CE+CF＝EF5，
即的最小值为5；
②∵，
设A（m，0），B（3，1），C（0，n），D（2，6）．
欲求的最小值，可以把问题转化为求AC+AB+CD的最小值，如图，作点B关于x轴的对称点B′（3，﹣1），点D关于y轴的对称点D′（﹣2，6），连接AB′，CD′，B′D′．
则AB＝AB′，CD＝CD′，
∵AC+AB+CD＝AC+AB′+CD′≥B′D′，
∴AC+AB+CD，
∴的最小值，
∴原式的最小值．
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