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第十八章平行四边形期中复习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，则AB的长为（　　）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（　　）
①矩形；②菱形；③对角线相等的四边形；④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
6．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
7．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，AC、BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．20cm
8．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
二、填空题
9．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　 　．
10．已知平行四边形ABCD中，∠A＝30°，，BD＝2，则平行四边形的面积为 　　．
11．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 　　．
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三、解答题
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
15．如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．
16．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
17．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED、EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝6，AF＝2，求菱形CDEF的面积．
18．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．
20．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，AC＝5；过点B作射线BF，过点D作DE⊥BF于E，连接OE．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求OE的长．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2C＝10，
故选：C．
3．【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝16，
∴，，
∵AB＝10，OA＝8，
∴，
∵DE⊥BC，，
∴．
故选：A．
4．【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
故选：D．
5．【解答】选：C．
6．【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
7．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴OB＝OD，AB+AD＝10cm，
∵EO⊥BD，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝10cm．
故选：B．
8．【解答】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA＝∠PFA＝90°，
又∵∠A＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
当AP⊥BC时，AP取得最小值，
此时，S△ABCBC APAB AC，
∴BC AP＝AB AC，
∵AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，
∴BC10，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝4.8，
∴EF的最小值是4.8，
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，有两个内角的度数比为1：4，
∴AD∥BC，∠A＝4∠B，
∴∠A+∠B＝180°，
∴4∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠A＝144°，
∴平行四边形ABCD中较小内角的度数为36°，
故答案为：36°．
10．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2，
∴DEAD，AEAD＝3，
在Rt△BDE中，
∵BD＝2，
∴BE2，
如图1，∴AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4；
如图2，AB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝2．
故答案为：2或4．
11．【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，
∵AC⊥CD，OE⊥AC，
∴∠ACD＝90°，AE＝CE，
∴CD4，
∴AD2，
∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝AEAD，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝44+2，
∴故答案为：4+2．
12．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝12，OD＝OBBD＝5，
∴∠COD＝90°，
∴CD13，
∵CD OHOC OD＝S△COD，
∴13OH12×5，
解得OH，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OE＝FG，
∴OE≥OH，
∵FG，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
13．【解答】解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，
∴O是AC边的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BG，．
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形．
∴，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+＝S△FGP＝S△EOB．
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO．
∵AC＝AB＝26，BC＝20，
∴等腰△ABC中BC边上的高为，
∴．
∵O是AC边的中点，
∴．
∴阴影部分的面积为120．
故答案为：120．
三、解答题
14．【解答】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵ADAB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分，
∴AP＝FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝10，
∴AEBC＝5．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝5．
15．【解答】（1）证明：在 ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵∠ADB＝90°，E，为边AB的中点，
∴DEAB＝2，
∴AB＝4，
∴AD2，
∴S△ABDAD DB＝2，
∴S△BDE，
在 ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴S BEDF＝2S△BDE＝2．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，
∵DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4，
∴CE∥AF，OC＝OA＝4，
∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∵∠AEC＝60°，
∴△EAC是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32，
∴四边形AFCE周长是32．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，点F在AB上，
∴CD∥EF，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝90°，BC⊥EF，
∵四边形CDEF是菱形，AF＝2，
∴DE＝EF＝AE+2，
∵AE2+AD2＝DE2，AD＝BC＝6，
∴AE2+62＝（AE+2）2，
解得AE＝8，
∴EF＝8+2＝10，
∴S菱形CDEF＝EF BC＝10×6＝60，
∴菱形CDEF的面积为60．
18．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OFBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13，
∵AE⊥BC，
∴S四边形ABCD＝BC AE，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
∴，
∴BD＝2BO＝24，
∵S四边形ABCDAC BD＝BC AE，
∴，
∴．
20．【解答】（1）证明：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴AB2+BC2＝32+42＝52＝AC2，
∴∠ABC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是矩形，AC＝5，
∴BO＝DO，BD＝AC＝5．
∵DE⊥BF，
∴．
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