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专题03 三角函数、解三角形与平面向量
考点01 三角函数
1．（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
易错分析：利用三角函数的定义求值时要注意终边上的点是否是角的终边与单位圆的交点.
2．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于两点，且若直线的斜率为，则（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错分析：根据的关系求值时，转化的手段是平方、开方，在开方时一定要注意判断符号.
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
易错分析：三角求值时要注意寻找条件角与未知角之间的关系，基本思路是用条件角来表示未知角，角的变换是求解的关键.
9．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
易错分析：三角函数单调性问题的求解思路是利用复合函数单调性规律求解，过程中要注意系数的符号对单调性的影响.
13．（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·河北唐山·二模）函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：三角变换问题要注意系数对平移单位的影响，以及横坐标、纵坐标平移规律的差异.
17．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为
19．（24-25高一上·浙江宁波·期末）将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
易错分析：三角求值时要注意结合条件式的结构特点联想相关的公式进行变形.
21．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
考点02 解三角形
1．在中，已知，，，则（ ）
A．或 B． C． D．或
易错分析：利用正弦定理解三角形时要注意判断解的个数，判断依据是结合正弦值、大边对大角.
2．在中，三个角所对的边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（24-25高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：三角形中的三角问题要注意挖掘三角形中的隐含条件.
8．（2024高三·全国·专题练习）在钝角三角形中，角的对边分别为，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
易错分析：解三角形中进行边角互化时要注意公式成立的条件，即要求等式是齐次式.
12．（2024·重庆·一模）已知的三边所对的角分别为.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的面积.
考点03 平面向量
1．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：求平面向量的投影向量要牢记定义和公式，在上的投影向量为.
3．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·辽宁·期末）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 .
易错分析：求平面向量的夹角时要注意平面所成角的范围为.
6．设、分别为连掷两次骰子得到的点数，且向量，，则与的夹角为锐角的概率是 ．
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考点01 三角函数
1．（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求解.
【详解】根据题意，
由三角函数的定义得.
故选：A.
易错分析：利用三角函数的定义求值时要注意终边上的点是否是角的终边与单位圆的交点.
2．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】接根据三角函数的定义可求出，再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可得出答案.
【详解】由三角函数的定义可得，
所以.
故选：B.
3．（24-25高三上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于两点，且若直线的斜率为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义可设，，结合直线的斜率公式及和差角公式先求出，然后结合二倍角公式及同角基本关系可求．
【详解】由题意可设，，
则直线的斜率，
所以，
所以．
故选：A．
4．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角的平方关系求出，结合三角函数的定义和两角和的正弦公式计算即可求解.
【详解】如图，
由，，得，
所以.
故选：D
5．已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两边平方，求得，推得，再求得，联立求得，即得，即可逐一判断.
【详解】由，两边平方得：，
则，因，故有，故A正确；
由上已得：，故，
由可得，于是，
又，联立解得：，
故，故B,D正确，C错误.
故选：C.
易错分析：根据的关系求值时，转化的手段是平方、开方，在开方时一定要注意判断符号.
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件结合同角关系求，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，
故，又，
所以，又，
所以，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：C.
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过变形可以得到，从而先对平方求出，进一步化简求值即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故选：A.
8．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得.
【详解】因，
则.
故选：A.
易错分析：三角求值时要注意寻找条件角与未知角之间的关系，基本思路是用条件角来表示未知角，角的变换是求解的关键.
9．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差的余弦公式求得，再利用诱导公式及二倍角公式可求解.
【详解】依题意，，即，则，
所以.
故选：A
10．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式即可求得答案.
【详解】由，可得.
故选：C.
11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，再结合诱导公式和余弦倍角公式即可求解.
【详解】
，
故选：C
12．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整体代换法求单调区间即可求解.
【详解】因为，令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为．
故选：B
易错分析：三角函数单调性问题的求解思路是利用复合函数单调性规律求解，过程中要注意系数的符号对单调性的影响.
13．（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】，令，
,
故函数的单调递增区间为.
故选：D．
14．（2024·河北唐山·二模）函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围，求出，结合正弦函数的单调性得到，解得即可.
【详解】由可得，
又，则，且在上为单调递增函数，
所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C
15．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移规则可得的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果.
【详解】由题可得，
因为，所以当时，，
且，
因为在单调递增，所以，
又，解得.
故选：B
16．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可.
【分析】根据题意可得：
为奇函数，
，
故选：B
易错分析：三角变换问题要注意系数对平移单位的影响，以及横坐标、纵坐标平移规律的差异.
17．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据函数的性质求的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
函数的图象关于直线对称，
所以，得,
所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为.
故选：A
18．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为
【答案】D
【分析】利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以，
当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
由，得，所以函数的，
当时，的一个对称中心为，故C错误；
由，得，所以的对称轴为，
当当时，的一条对称轴为，故D正确.
故选：D.
19．（24-25高一上·浙江宁波·期末）将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合三角函数伸缩变换与平移变换的性质往回推导即可得.
【详解】由题意可得，将函数横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变，
可得，再将其向右平移个单位长度，
即，即.
故选：B.
20．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果.
【详解】因为，则，，
又因为，
则①，
等式①的两边同时除以
可得，解得.
故选：D.
易错分析：三角求值时要注意结合条件式的结构特点联想相关的公式进行变形.
21．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意切化弦可得，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，可得，
又因为，可得，
所以.
故选：C.
22．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦的和角公式以及弦切互化，即可求解，即可由余弦的差角公式求解.
【详解】由可得，
解得，
故，
故选：B
23．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又，
所以.
故选：D.
考点02 解三角形
1．在中，已知，，，则（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【分析】运用正弦定理计算即可.
【详解】因为在中，，，，
由正弦定理，得，
解得或，
又因为可得，所以不符合题意，舍去．
可得，故A，B，D错误．
故选：C.
易错分析：利用正弦定理解三角形时要注意判断解的个数，判断依据是结合正弦值、大边对大角.
2．在中，三个角所对的边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用正弦定理，得到，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得到，即，
得到，又，所以，
故选：C.
3．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，即可求解.
【详解】由可得：，
所以，又，
所以或，
结合内角和定理，所以或，
故选：C
4．（24-25高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】利用正弦定理先求B，再根据三角形内角和计算即可.
【详解】利用正弦定理可知，解之得，
因为，所以，则，
或，则.
根据大边对大角，以上两种情况都符合题意.
故选：C
5．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围.
【详解】在中，，由有两解，得，且，
则，由外接圆半径为4及正弦定理，得，
所以边的长可能为5.
故选：D
6．在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解.
【详解】根据正弦定理，，则，
若满足条件的有两个，则，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
7．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据三角形的面积公式及余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定理及三角函数的性质即可得解.
【详解】由，
得，所以，
所以，又，所以，
由正弦定理得，
由，得，
所以，所以，
所以.
故选：B.
易错分析：三角形中的三角问题要注意挖掘三角形中的隐含条件.
8．（2024高三·全国·专题练习）在钝角三角形中，角的对边分别为，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理边角互化，结合和差角公式可得，进而讨论为锐角还是钝角，得，即可结合三角恒等变换，和三角函数的性质求解.
【详解】由及正弦定理，得．
又，．
，，则．
为钝角三角形，且，角为锐角．
又，．
若为锐角，则，，不符合题意．
若为钝角，则，，
，，
．
由，得，
，，
．
故选:B．
9．（24-25高三上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得B的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】由题设知，，
由正弦定理得，
即,
又，所以，所以，得，所以，
又，
即，又锐角，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围是.
故选：A
10．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根据正弦函数的性质，可得答案.
【详解】由，，则，
根据正弦定理，可得
，
在中，，则，
，
在中，易知，当时，.
故选：B.
11．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及余弦定理求得，再由直角三角形求得答案.
（2）由（1）得到，求得，再求出的范围，借助不等式性质求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，
而，由余弦定理得，即，
联立解得，，因此，，所以.
（2）由（1）知，则，且，
由，得，即，
因此，
所以的取值范围是.
易错分析：解三角形中进行边角互化时要注意公式成立的条件，即要求等式是齐次式.
12．（2024·重庆·一模）已知的三边所对的角分别为.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用两角和与差的正弦公式化简为，整理得，所以，换元后得，最后利用函数单调性即可求解；
（2）余弦定理代入中得，由与可以计算出，进而得，最后代入即可.
【详解】（1）因为，所以，
则，即，
,
令，则，
因为，令，
当时，均为增函数，所以在为增函数，
所以，即，
所以，即.
（2）因为，
由代入整理有：
，
所以，
因为，，
由正弦定理有：,
代入有：，得，
因为，所以，
所以
所以的面积为：.
考点03 平面向量
1．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
则向量在向量方向上.
故选：A
易错分析：求平面向量的投影向量要牢记定义和公式，在上的投影向量为.
3．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据结合题意整理得，代入公式运算
【详解】向量，都是单位向量，则，
，即，
，
又因为，所以，
故选：B
4．（24-25高三上·辽宁·期末）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角.
【详解】由，得①，
由，得②，
由②-①，得，
由，得，所以，则，
设与的夹角为，则，因为，所以.
故选：A.
5．已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示可得，结合，反向时计算即可求解.
【详解】由题意，，.
当，反向时，有，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
易错分析：求平面向量的夹角时要注意平面所成角的范围为.
6．设、分别为连掷两次骰子得到的点数，且向量，，则与的夹角为锐角的概率是 ．
【答案】
【分析】由与的夹角为锐角，得到，由此能求出与的夹角为锐角的概率.
【详解】解：因为向量的夹角为锐角，所以，
即，，
当时，有2种；
当时，有2种；
当时，有1种；
当时，有1种；
包含的基本事件个数为6，而基本事件总数为，
所以概率为，
故答案为：.
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