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专题04 数列
考点01 等差、等比数列的定义
1．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得.
【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为，
则，则，
即数列是以为首项，为公差的等差数列；
若数列是等差数列，取，则，符合要求，
但数列不为等差数列，
故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A,
易错分析：利用等比数列的定义进行判断时一定要注意验证.
2．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知正项数列满足，且，则（ ）
A．为等差数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等比数列
【答案】A
【分析】由条件可得，，结合关系可得，可得，由此判断AC，举反例判断BD.
【详解】因为，数列为正项数列，
所以，，又，
所以，
所以，
所以为等差数列，A正确，C错误；
设，则，，，
满足条件，，
因为，，
所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误.
故选：A.
3．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.
【详解】当时，是等差数列，不是等比数列，
当既是等差数列又是等比数列，则，
故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
5．已知数列满足，（，）.又数列满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列是严格增数列，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得.
（2）由（1）求出数列的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得.
【详解】（1）当时，，即，亦即，
又，即，所以数列是等比数列.
（2）由（1），，即，，
依题意，对任意的正整数成立，
即对任意的正整数成立，
而数列严格增，且对任意的正整数成立，
因此，又，解得，
所以的取值范围是.
考点02 等差、等比数列基本量的运算
1．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（ ）
A． B． C．15 D．28
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果.
【详解】设，则，解得，
∴，故，
故选：B.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
【答案】D
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
（也可由等差数列的性质得，得）
解得，又，所以，
解得或．
因为各项均为正数，所以，所以，，所以．
故选：D
3．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ）
A．-2 B．4 C．8 D．-2或4
【答案】B
【分析】设出公差，根据成等比数列，得到方程，求出，检验后得到答案.
【详解】由题意得，，且，
设公差为，则，解得，
若，则，，满足要求，
若，则，不合要求，舍去，
故.
故选：B
4．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知等比数列，则（ ）
A．3 B．±3 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.
【详解】在等比数列中，，由，得，
而，因此，又，且同号，则，
所以.
故选：C
5．（2025高三·全国·专题练习）已知为等比数列，且，，记为的前项和，则（ ）
A．127 B．128 C．63 D．64
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质可得和，即可求解公比和首项，由等比求和公式即可求解.
【详解】设的公比为，由，得，
又，故.又，所以，
从而，所以，，
故选：C.
6．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
【答案】A
【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.
【详解】根据等比中项知道，求得，则.
又，则.
故选：A.
易错分析：在进行等比数列的基本量运算时要注意挖掘等比数列的隐含条件，如公比不等于零、通项不等于零、同号等.
7．（2024·山东泰安·二模）设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）
A．1或5 B．5 C．1或 D．5或
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式，采用基本量思想进行计算即可.
【详解】由得，，
所以，即，
所以，所以或 .
故选：D.
考点03 等差、等比数列的性质
1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．48 B．84 C．90 D．112
【答案】C
【分析】利用等比数列片段和的性质得，，进而可求.
【详解】因为是等比数列的前n项和，
所以，，，成等比数列，
又，，所以，，
所以.
故选：C
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
易错分析：在利用等比数列片段和的性质求值时一定要注意这一前提条件.
3．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，根据题意可将都用表示，可求得结果.
【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，
∵，即，，
∴，，∴，，
∴.
故选：A.
4．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．13 C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列的性质可知依旧成为等差数列，据此求解.
【详解】由，可设，
为等差数列，为等差数列，
即成等差数列，
，
即.
故选：D.
5．（24-25高三上·黑龙江·期末）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．140 B．150 C．160 D．180
【答案】B
【分析】根据下标和性质求出，即可求出，再由求和公式计算可得.
【详解】因为，所以，又，所以，
所以.
故选：B
6．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．88 B．114 C．132 D．144
【答案】A
【分析】根据题设条件可求得的值，从而可得的值.
【详解】根据等差数列的下标和性质，，
解得，所以.
故选：A.
考点04 数列的通项公式
1．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且，，则 ．
【答案】
【分析】由，可知是等比数列，由等比数列的通项公式求出，然后由求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
当时，，
又不符合上式，所以.
故答案为：.
易错分析：利用Sn与an的关系求通项时一定要检验和时能否合写成一个公式.
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据题目给出的递推公式进行升次作差即可求解.
【详解】由题意 …①， ， …②，
②①得： ，
则当时，，
当，不适合上式.
；
故答案为： .
3．（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
考点05 数列的求和
1．（24-25高三上·吉林长春·期末）记首项为1的数列的前项和为，且是以2为公差的等差数列，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质求出，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为首项为1的数列的前项和为，
所以，令，故，
由题意得是以2为公差的等差数列，
故，即，
得到，故，
令，
其前项和为，
，故D正确.
故选：D
易错分析：利用裂项相消法求数列的和时，拆项时要注意是否需要添加系数即注意变形的等价性.
2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数的定义域为，且，，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】赋值可求得，，，，进而结合裂项相消法求和即可.
【详解】由，，
令，得，即，
令，得，即，
令，得，即，
令，得，即，
同理可得，，，，
则
.
故选：C.
3．（24-25高三上·甘肃·期末）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用公式，求出数列的通项，结合为等差数列列方程求，由此可得结论；
（2）由（1），利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
因为数列为等差数列，且，所以数列的公差为
所以，即，
所以，故，
所以.
（2）因为，
所以，
.
4．（2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，.
(1)求数列，{}的通项公式；
(2)求；
(3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有.
【答案】(1)，.
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；
（2）可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解；
（3）数列的前项和可利用裂项相消，然后用放缩可证.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，.
由等比数列性质可得，又，，
所以，
所以，解之得或，
当时，，则，，
即与矛盾，故舍去；
当时，，则，，
所以,，满足题意；
所以，.
（2）设，
，
设，
则，，
两式相减得，
所以，即.
（3）证明：，
，
，
因为，易知随着的增大而增大，
所以，，
所以.
【点睛】方法点睛：
求数列前项和常见的方法：
公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.
通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.
5．（24-25高三上·吉林四平·期末）在前项和为的等比数列中，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据等比数列的通项公式，由，可以计算得出等比数列的公比或，分别再由得，验证，是否符合，得到，得出数列的通项公式.
(2)根据，得出的通项公式，错位相减得出.
【详解】（1）设数列的公比为，
由，得，所以，解得或，
若，则由，得，所以，与矛盾，所以，
若，则由，得，所以，，符合
，所以，，所以.
故数列的通项公式为：
（2）由，
两边乘以2得
，
两式相减得：，
故数列的前项和.
易错分析：求数列的和要注意错位相减法适用的前提条件，即判断数列是否是“差比数列”.
6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知为等差数列，其前项和为，为等比数列，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）设的公差为，的公比为，利用等差数列前n项和公式及等比数列通项公式基本量运算求出，即可求解通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可得解.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，
则，解得，
因为，所以，
则，
.
（2）由（1）得，
则，①
，②
由①-②得
，
所以.
7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)数列的前n项和为，且，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据和的关系可得，进而求证即可；
（2）先求出，可得，进而结合错位相减法求和即可；
（3）结合（2）可得，进而结合裂项相消法求和即可.
【详解】（1）证明：当时，，则，
当时，，即，而，
所以数列成首项为3，公比为的等比数列，
（2）由（1）知，，则，
由，所以，
则，设前n项和记为，
所以①，
则②，
①②得，
则，即数列的前n项和为.
（3）证明：由（2）知，，则，
所以
所以
，
因为，所以．
8．（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和为；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求.
（3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和.
【详解】（1）因为，，
若，则，与矛盾，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知，
数列的前项和为.
（3）因为，
设数列的前n项和为，
当n为偶数时，，
因为，
所以，
当为奇数时，为偶数.
，
所以.
易错分析：当数列的通项含有或者是分奇偶数的分段函数形式时，求数列的和往往需要分奇偶数进行讨论.
9．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得，结合即可求解；
（2）由（1）知，利用分组求和法计算即可求解.
【详解】（1）根据题意，，所以，
由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，
所以，所以，
当时，.
验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知.
设的前项和为，则当为偶数时，
.
当为奇数时，，
设的前项和为，则.
因为，所以
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
11．已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)．
【分析】(1)利用求出数列的通项公式，从而求出，从而求出.证明即可证明，，是等差数列；
(2)根据通项公式的特征，分n为奇数和偶数讨论其前n项和．
【详解】（1）①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
∵
，
∴，，成等差数列；
（2），
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知．
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考点01 等差、等比数列的定义
1．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
易错分析：利用等比数列的定义进行判断时一定要注意验证.
2．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知正项数列满足，且，则（ ）
A．为等差数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等比数列
3．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．已知数列满足，（，）.又数列满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列是严格增数列，求的取值范围.
考点02 等差、等比数列基本量的运算
1．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（ ）
A． B． C．15 D．28
2．（2025高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
3．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ）
A．-2 B．4 C．8 D．-2或4
4．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知等比数列，则（ ）
A．3 B．±3 C． D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知为等比数列，且，，记为的前项和，则（ ）
A．127 B．128 C．63 D．64
6．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
易错分析：在进行等比数列的基本量运算时要注意挖掘等比数列的隐含条件，如公比不等于零、通项不等于零、同号等.
7．（2024·山东泰安·二模）设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）
A．1或5 B．5 C．1或 D．5或
考点03 等差、等比数列的性质
1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．48 B．84 C．90 D．112
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
易错分析：在利用等比数列片段和的性质求值时一定要注意这一前提条件.
3．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．13 C． D．
5．（24-25高三上·黑龙江·期末）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．140 B．150 C．160 D．180
6．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．88 B．114 C．132 D．144
考点04 数列的通项公式
1．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且，，则 ．
易错分析：利用Sn与an的关系求通项时一定要检验和时能否合写成一个公式.
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为 .
3．（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
考点05 数列的求和
1．（24-25高三上·吉林长春·期末）记首项为1的数列的前项和为，且是以2为公差的等差数列，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：利用裂项相消法求数列的和时，拆项时要注意是否需要添加系数即注意变形的等价性.
2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数的定义域为，且，，设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·甘肃·期末）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．（2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，.
(1)求数列，{}的通项公式；
(2)求；
(3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有.
5．（24-25高三上·吉林四平·期末）在前项和为的等比数列中，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
易错分析：求数列的和要注意错位相减法适用的前提条件，即判断数列是否是“差比数列”.
6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知为等差数列，其前项和为，为等比数列，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)数列的前n项和为，且，求证：．
8．（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和为；
(3)求数列的前项和.
易错分析：当数列的通项含有或者是分奇偶数的分段函数形式时，求数列的和往往需要分奇偶数进行讨论.
9．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
11．已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
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