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第八章 立体几何初步

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

素养目标 学法指导
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.(数学抽象)(直观想象)
2．会用符号语言表示空间点、直线、平面的位置关系.(数学抽象)
3．根据有关概念，学会判断(证明)空间点、直线、平面的位置关系.(逻辑推理) 学习本节知识要多观察实物，感知现实中空间点、直线、平面的位置关系，再给出并学习定义.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.

推论一： 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

【思考】1.同一平面内的两条直线有几种位置关系？

相交
:有且只有一个公共点

:没有公共点
平行
2.空间中的两条直线之间的位置关系如何？

【观察】长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？

空间中直线与直线的位置关系：

平行

相交
异面

在同一平面内，有且只有一个公共点；
在同一平面内，没有公共点；
不同在任何一个平面内，没有公共点.

【合作探究】分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？

? 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
?①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
?
?②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
?
?③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
?
?④直线AB与直线B1C的位置关系是 ________。
?

例 1

平行
异面
相交
异面
[解析]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1=BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
?
? 判断两条直线平行或相交的方法
? 判断两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4(下节学习)判断．
?

【合作研究】下图中，直线AB与平面ABCD有多少个公共点？直线AA'与平面ABCD呢？直线A'B'与平面ABCD呢？


①直线在平面内—有无数个公共点；
②直线与平面相交—有且只有一个公共点；
③直线与平面平行—没有公共点

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面?外，记为
幻灯片11
? (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是 （ ）
?A．直线上所有的点都在平面外
?B．直线上有无数多个点都在平面外
?C．直线上有无数多个点都在平面内
?D．直线上至少有一个点在平面内
? (2)下列说法中，正确的个数是 (　　)
?①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
?②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
?③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
? A．0　 B．1　　 C．2　 D．3
?

例 2
B
C


?
?直线与平面位置关系的判断
? (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
? (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．



【合作探究】如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的
位置关系有几种？


①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.






注意：画两个平面平行时，通常画两个对应边互相平行的平行四边形.

　　 如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
例 3




1. 空间中直线与直线的位置关系


2. 空间中直线与平面的位置关系
①直线在平面内—有无数个公共点；
②直线与平面相交—有且只有一个公共点；
③直线与平面平行—没有公共点.
3. 空间中平面与平面的位置关系
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.

核心素养达成
A
1．如图所示，用符号语言可表达为(　　)．
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n

2．已知：α∥β，a?α．求证：a∥β．


3．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以上几个结论中，正确结论的序号是(　　)．
③



作业：
教科书第131页第1，2，3，4题；
教科书第132页第4题，第9题．

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