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4.1 认识三角形
第1课时 三角形及其内角和
2025年北师大版七年级数学下册课件★★
三角形是生活中常见的基本几何图形，它常常出现在建筑物上或一些物体的结构框架中.留心观察你所看到的各种事物，你发现各式各样的三角形了吗
本章将进一步研究三角形的性质及三角形的全等关系.你将感受研究图形性质的基本方法，在一个个结论的获得过程中，慢慢体会如何有逻辑地说明它们的正确性；在用尺规作图的过程中，感受如何通过对图形的直观分析作出想要的图形.这些学习过程会帮助你积累更多研究图形的经验，发展几何直观和推理能力等.
1. 了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形，会按角的大小对三角形进行分类；（重点）
2. 掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题.（难点）
下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形.
从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑到微小的分子结构，都有什么样的形象？
观察下面的屋顶框架图：
A
B
C
D E
F
G
（1）你能从图中找出四个不同的三角形吗？
（2）这些三角形有什么共同的特点？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的定义:
A
B
C
三角形的表示:
三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.除此△ABC 还可记作△BCA, △CAB, △ACB 等.
边：△ABC的三边BC，AC，AB，有时也用a，b，c表示.
如图，顶点A所对的边BC用a表示，
顶点B所对的边AC用b表示，
顶点C所对的边AB用c表示.
三角形的构成要素：
内角：∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
顶点：如图，点A，B，C是三角形的顶点；
C
A
B
c
b
a
三角形有三条边，三个内角和三个顶点.
1.如图所示.(1)以D为顶点的三角形有　　个,它们分别是 .
(2)∠C是△ABC中　　　　边的对角，又分别是△DFC，△DEC中　　　　,　　　　边的对角.
(3)在△DEC中,∠E的对边是　　　,在△EGB中,∠E的对边是　　　,在△EDF中,∠E的对边是　　　　.
(4)DF是△　　　　和△　　　　的公共边.
4
△ADG,△DEF,△DFC,△CDE
AB
DF
DE
DC
GB
DF
DEF
DFC
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角，即三角形三个内角的和是180°.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以发现三角形的三个内角有什么关系？
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他的做法如下:如图①，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.将∠1撕下，按如图②所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合.
此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗 为什么
解:平行.理由:内错角相等，两直线平行.
①
②
解:相等.理由:两直线平行，同位角相等.
现在，你能够确定这个三角形的内角和了吗？试写出你的证明过程？
③
(3)如图③所示,将∠3与∠2的公共边延长,它与b 所夹的角为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系 为什么
证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
1
2
D
E
C
B
A
证明：三角形三个内角的和等于180°.
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等) .
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
解：∵CE⊥AF，
∴∠DEF＝90°（垂直的定义），
∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.
∴∠BDC＝∠EDF＝50°.（对顶角相等）
在△BDC 中，∵ ∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°- （∠C+∠BDC）
＝180°- （30°+50°）
＝100°.
例1 如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC的度数．
2.在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度数.
解:设∠B=∠C=x°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴40°+x°+x°=180°,
解得x=70.
∴∠B=∠C=70°.
小颖、小明露出的角分别是直角和钝角，由于“三角形内角和是180°”，可以得到两人拿的三角形中，其余两个内角都是锐角.
（1）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.
露出的角是锐角，其余两个角的情况有三种情况：
①两个锐角；
②一个直角一个锐角；
③一个钝角一个锐角.
（2）下图中小亮所拿三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较，并与同伴交流.
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
锐角三角形
三个内角都是锐角
直角三角形
有一个内角是直角
钝角三角形
有一个内角是钝角
通常,我们用符号 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ” .如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边 ．
A
B
C
斜边
直角边
直角边
直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
几何语言表示：
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，
∴∠A＋∠C=90°.（直角三角形的两个锐角互余）
根据“三角形的内角和为180°”易得:
直角三角形的两个锐角互余.
例2 在△ABC中,∠B比∠A大36°,∠C比∠A小36°,求△ABC的各内角的度数,并判断△ABC的形状.
解:设∠A=x°,则∠B=x°+36°,∠C=x°-36°.
根据题意,得x+x+36+x-36=180,
解得x=60.
∴x°+36°=96°,x°-36°=24°.
∴∠A=60°,∠B=96°,∠C=24°.
∴△ABC是钝角三角形.
　　根据三角形的内角大小判断三角形的形状时,要先求出各角的大小，然后看三个角中最大的角是什么角.
若最大的角为钝角,则三角形为钝角三角形;
若最大的角是直角,则三角形为直角三角形;
若最大的角为锐角,则三角形为锐角三角形.
方法归纳
3.在下面的空白处,分别填入“锐角”“钝角”或“直角”：
（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形
是 三角形；
（2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么
这个三角形是 三角形；
（3）如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形
是 三角形.
钝角
锐角
直角
C
2.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是(　　)
A.18° B.36° C.54° D.72°
D
C
1.图中共有　　 　个三角形 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示，在△ABC中，点D在AB上,点E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为(　　)
A.54° B.62° C.64° D.74°
4.如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,那么这个三角形中最大的一个内角等于　　　　度.
90
25
50°或90°
5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,若∠ABC=25°，则∠ACD=　　　　°.
6.如图所示，已知∠AON=40°，P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数为　 　　 　.
解:(1)∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠BCD=90°.
又∵∠1=∠B,
∴∠B+∠BCD=90°.
∴∠BDC=90°.
∴CD⊥AB.
(2)∵∠A=28°,∠ACB=90°,
∴∠B=90°-28°=62°.
∵∠BCD+∠B=90°,
∴∠BCD=90°-∠B=28°.
7.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)试说明:CD⊥AB；
(2)如果∠A=28°,求∠B和∠BCD的度数.
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形及其内角和
三角形的概念
三角形按角分类
三角形的内角和
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.
构成:三角形有三条边,三个内角和三个顶点.
三角形可以用符号“△”表示,顶点是A,B,C的三角形,记作△ABC.
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和等于180°.

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