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18.2.3正方形（课时2）
第十八章 平行四边形
素养目标
1.理解并掌握正方形的判定和推导过程；
2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明；
重难点
重点
3.经历正方形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.
知识回顾
2．正方形的性质：
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
（1）边：四条边相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴
新知导入
由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且有一个角是直角
探究新知
上节课，我们学过：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．
（2）有一个角是直角的菱形是正方形．
你能分别给出证明吗？
一组邻边相等
矩形
正方形
菱形
一个角是直角
∟
正方形
探究新知
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=AD．
求证：矩形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=90°．
又∵AB=AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
（有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.）
A
B
C
D
1.有一组邻边相等的矩形是正方形．
探究新知
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠A=90°．
求证：菱形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD．
又∵∠A=90°，
∴菱形 ABCD 是正方形．
（有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.）
A
B
C
D
2.有一个角是直角的菱形是正方形．
探究新知
矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？
对角线相等且互相平分
对角线相等且互相垂直平分
添加对角线互相垂直
能否得到正方形？
探究新知
已知：在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且 AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OB=OD．
∵AC⊥BD，
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线．
∴AB=AD．∴矩形 ABCD 是正方形．
3.对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
有一组邻边相等的矩形是正方形
探究新知
菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
对角线互相垂直平分
对角线相等且互相垂直平分
添加对角线相等
能否得到正方形？
探究新知
已知：在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．
∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD．
∴△AOB，△BOC 是等腰直角三角形．
∴∠ABO=∠CBO=45°．
∴∠ABC=90°．∴菱形 ABCD 是正方形．
4.对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形
A
B
C
D
O
归纳总结
常用的正方形判定方法：
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
归纳总结
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直且相等
A
D
A
D
B
A
小结
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直且相等
谢谢同学们的聆听

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