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19.2.3一次函数与方程、不等式
（课时1）
第十九章 一次函数
素养目标
1.认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系；
2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
重点
难点
新知导入
【问题1】已知一次函数 y=2x+1，求当函数值 y =3，y =0，y = -1 时，自变量x的值．
自变量x的值依次是 1， ，-1
【问题2】当y=3时，2x+1等于几？当y =0，y = -1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？
可以写成 2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1 的形式，就变成了一元一次方程．
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1) 2x+1 = 3; (2) 2x+1 = 0; (3) 2x+1 = -1.
探究新知
可以看出，这3个方程的等号左边都是2x＋1，等号右边分别是3， 0， -1.
探究新知
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 方程的解
2x+1=3
2x+1=0
2x+1=﹣1
可以看作函数y=2x+1，当y=3时，求x的值
可以看作函数y=2x+1，当y=0时，求x的值
可以看作函数y=2x+1，当y=﹣1时，求x的值
x = 1
x =
x =﹣1
探究新知
2.从“形”的角度看：
一次函数问题 图象
2x+1=3
2x+1=0 2x+1= -1 3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =2x+1
在直线 y=2x+1上取纵坐标为3的点，求其横坐标
在直线y=2x+1上取纵坐标为0的点，求其横坐标
在直线y=2x+1上取纵坐标为-1的点，求其横坐标
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
2x +1=3 的解
归纳总结
从数的角度看：
求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解
一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
从形的角度看：
求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解
求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
数形结合
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值.
探究新知
【问题1】已知一次函数y=3x+2，求函数值y＞2，y＜0，y＜-1时，自变量x的取值范围.
【问题2】当 y＞2时，3x+2大于几？当 y＜0，y＜-1时，3x+2又小于几呢？怎样列式表示？
可以写成 3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1 的形式，就变成了一元一次不等式．
自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜ ，x＜-1.
探究新知
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？　
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x+2，而不等号及不等号右边却有不同.
探究新知
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 方程的解
3x+2>2
3x+2<0
3x+2<﹣1
可以看作函数y=3x+2，当y>2时，求x的取值范围
可以看作函数y=3x+2，当y<0时，求x的取值范围
可以看作函数y=3x+2，当y<﹣1时，求x的取值范围
x > 0
x <
x <﹣1
探究新知
2.从“形”的角度看：
一次函数问题 图象
3x+2>2
3x+2<0 3x+2<-1 在直线y=3x+2上取纵坐标大于2的点，求其横坐标的范围
在直线y=3x+2上取纵坐标小于0的点，求其横坐标的范围
在直线y=3x+2上取纵坐标小于﹣1的点，求其横坐标的范围
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
归纳总结
从数的角度看：
求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集
一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围
从形的角度看：
求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集
求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围
数形结合
因为任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或 ax+b<0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围.
练一练
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3？
解：作出函数 y = -3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
O
B(2,0)
A(0,6)
y
练一练
解：（1）由图象可知，不等式 -3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围，即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
(1,3)
归纳总结
利用图象法解一元一次不等式的一般步骤：
1.将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0) 的形式；
2.画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标；
3.根据函数图象确定对应不等式的解集.
A
C
B
A
小结
一次函数与一元一次方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
谢谢同学们的聆听

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