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19.2.3一次函数与方程、不等式
（课时2）
第十九章 一次函数
素养目标
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组；
2.体验数形结合的思想，学会用函数的观点去认识问题.
重点
知识回顾
1.解一元一次方程可以看作，在某个一次函数 y=ax+b 的函数值为0时，求自变量x的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
2.解一元一次不等式可以看作，当一次函数 y=ax+b 的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围.即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
新知导入
思考：y-2x=20 是二元一次方程还是函数？
一次函数的一般形式为
y=kx+b(k≠0).
y-2x = 20
y = 2x+20
方程的角度
二元一次方程
函数的角度
一次函数
一次函数与二元一次方程之间有什么关系呢？
探究新知
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
（1）请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔 y(m)与气球
上升时间 x(min)的函数关系．
气球1 海拔高度：y =x+5；
气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
h1
h2
探究新知
【思考】一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y =0.5x+15
二元一次方程
y -0.5x =15
二元一次方程
y =0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
探究新知
由函数图象的定义可知：
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y =0.5x+15
探究新知
（2）什么时刻两个气球位于同一高度？这时的高度是多少？气球上升了多长时间？
解：（2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值 (0≤ x ≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决.
h1
h2
探究新知
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
从数的角度看：
就是求x为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 有相同的值y .
解方程组
y =x+5
y =0.5x+15
这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
探究新知
从形的角度看：
在同一直角坐标系中，画出一次函数 y=x+5 和 y=0.5x+15的图象.
y =x+5
y =0.5x+15
30
25
20
15
10
5
10
20
15
5
O
x
y
二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
这两条直线的交点坐标为(20， 25)，这也说明当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
探究新知
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
（1）20min后，1 号气球比2 号气球高.
（2）0~20min时，2号气球比1号气球高.
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
归纳总结
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
归纳总结
从数的角度看：
一次函数
y=kx+b (k≠0)
二元一次方程
y-kx=b (k≠0)
从形的角度看：
以二元一次方程y=kx+b(其中k，b为常数，k≠0)的解为坐标的点组成的图形
一次函数
y-kx=b的图象
直线y=kx＋b上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.
归纳总结
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从数的角度看：
解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
从形的角度看：
解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.
y
x
O
A
B
B
B
450
小结
一次函数与二元一次方程（组）
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 .
直线 y=kx+b 上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.
谢谢同学们的聆听

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