资源简介

6.2.1向量的加法运算
【学习目标】
1.通过类比物理中的力的合成，归纳和总结向量的加法运算法则，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.
2.通过观察图象，直观理解向量加法的三角形和平行四边形法则，并能正确应用，提升直观想象的核心素养；
3.通过小组合作，师生探究，能解决简单的向量加法实际问题，提升数学运算和数学建模的核心素养.
【学习重难点】
1.通过类比物理中的力的合成，归纳和总结向量的加法运算法则，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.
2.通过观察图象，直观理解向量加法的三角形和平行四边形法则，并能正确应用，提升直观想象的核心素养；
【评价任务】
1.完成问题1，问题2，问题3：检测目标（1）是否达成；
2.完成问题4，问题5，问题6：检测目标（2）是否达成；
3.完成例1，变式训练：检测目标（3）是否达成．
【学习过程】
环节一 创设情境，提出问题
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使得数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？结合物理背景和数的运算我们能得到什么启示呢？
【问题1】实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量能进行运算吗？下面一起来探究.
环节二 小组合作，探索交流
【问题2】如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移与合成的.从运算的角度看，可以看作是与的和，即位移的合成可以看作向量的加法.
如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做与的和，记作+，即+.
【问题3】如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，作出这个物体所受的合力F.此时如何表示和向量呢？
合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，F可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法.
如图，以同一点O为起点的两个已知向量，，以OA，OB为邻边作，则以O为起点的向量（OC是的对角线）就是向量与的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
对于零向量与任意向量，我们规定.
【问题4】（1）如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？作出向量+.
（2）结合图形，探究，，之间的关系.
（1）如果向量，共线，它们的加法与数的加法类似.令，.
当，共线且同向时，，如图.
当，共线且反向时，不妨设>，则，如图.
（2）如果向量，不共线，如图，三角形两边之和大于第三边，所以.
综上可知，，当且仅当，方向相同时等号成立.
【问题5】数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
如图，作，，以AB，AD为邻边作，容易发现，，故
.又，所以（交换律）.
环节三 例题练习，巩固理解
例1：如图，已知向量a,b,求做向量a+b.
例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A 地出发垂直于对岸航行，航行速度大小为15km/h,同时江水的速度为向东6km/h.
（1）用向量表示江水速度，船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到）
　
环节四 小结提升，形成结构
1.本节课学习的向量的加法法则和运算律有哪些？
2.在学习向量加法法则的过程中我们学习了哪些数学思想方法呢？
3.通过本节课的学习，你发展了哪些数学素养呢？
【反馈练习】
A组
1.化简＋＋＋＝(　　)
A．0 B．
C．0 D．
2．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，则＝(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
3．在平行四边形ABCD中，＋＋＝________．
4．如图，请在图中直接标出：
(1)＋；
(2)＋＋＋.
5.如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则＋＋＝(　　)
A． B．
C． D．
B组
1．在四边形ABCD中，若＝＋，则(　　)
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
2．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________．
3．化简：
(1)＋＋＋；
(2)(＋)＋(＋)＋.
4.已知菱形ABCD的边长为2，
(1)化简向量＋＋；
(2)求向量＋＋的模．
5.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力＝12 N.求F1和F2的合力．
【学后反思】
1.通过本节课的学习你学到了哪些知识？
2.你体会到了哪些数学思想、解题方法？
3.需要老师提供什么帮助？
4.你有什么好的经验可以和大家一起分享？你对本学历案有什么建议和意见，都可以写在最后的空白区域.
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A
B
C
A
O
B
C
B
A
O
O
A
B
b
a

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