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人教版数学八年级下册
变量与函数
y
y=÷x-1
-2-1-
郎
学习目标
3.能确定两个量之间的关系式.
1.结合实例，了解变量、常量的意义，并能 正确区分常量与变量.
2.体会运动变化过程中的数量变化.
行星在宇宙中的位置随时间而变化
万物皆变
气温随海拔而变化
汽车行驶里程随行驶时间而变化
海拔x/km … 1 1.5 2 2.5 3
…
气温y/℃ … -1 -4 -7 -10 -13
…
yA 5 y=-6x+5 1 x 0
为了更深刻地认识千变万化的世界，本节课，我们将
学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变
化的规律.
这里有变化的量吗 如果有， 是什么 它们之间有什么关 系
游戏：数青蛙
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，
新课引入
四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿.
青蛙的只数、嘴巴数、眼睛数、腿数都是变化的量.
随着青蛙的只数的改变，青蛙的嘴巴数、眼睛数和腿数都在 发生变化.
嘴巴数与只数相等，眼睛数是只数的2倍，腿数是只数的4倍。
这游戏中有变化的量吗 如果有，是什
么 它们之间有关系吗
(1)请同学们根据题意填写上表：
(2)在以上这个过程中， 变 化的量是 时间t, 路程s. ,不变化的 量是速度 ●
(3)试用含t 的式子表示s 是 s=60t .
知识点 常量与变量
汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km, 行驶时间 为t h,填写下表， s的值随t 的值的变化而变化吗
t/h 1 2 3 4
5
s/km 60 120 180 240
300
你见过水中涟漪吗 圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，
当圆的半径分别为10cm,20 cm,30 cm时，圆的面积S分别 为多少 S的值随r的值的变化而变化吗
圆面积S与圆的半径r之间的关系式是_S=πr
其中变化的量是 S, r; 不变化的量是 兀
这个问题反映了 圆的面积S 随 半径r 的变化过程.
当圆的半径为10cm时，面积为S=100π cm ;
当圆的半径为20cm时，面积为S=400π cm ;
当圆的半径为30cm 时，面积为S=900π cm .
注意：此处的 2是一种运算
提示：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：
发生了变化和始终不变.
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
方法 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量 的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
s=60t y=10x S=πr 2(x+y)=10
实际问题中常量与变量的识别
某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作量W与时间t
之间的关系中，下列说法正确的是( C )
A. 数100和W,t 都是变量
B. 数100和W 都是常量 C.W 和t是变量
D. 数100和t都是常量，
关系式中常量与变量的识别 指出下列关系式中的变量与常量：
(1)y=3x-4; (3)y=x +2x-8;
(2)y=x; (4)S=πr2. 解 ： (1) 3和-4是常量，x和y是变量.
(2)1是常量， x、y是变量.
(3) 1、2 、-8是常量，x、y是变量.
(4)π是常量， s 、r是变量.
(1)某水果店橘子的单价为5元/千克，买a千杼 总 价 为m 元， 其中常量是_ 5 ,变量是 a, m.
(2)周长C与圆的半径r 之间的关系式是C=2πr, 其中常量是 2,π. , 变量是 C, r. _;
( 3 ) 三 角 形 的 一 边 长 5cm, 它 的 面 积S(cm ) 与 这 边 上 的 高h(cm) 的 关
典例精析
例指出下列事件过程中的常量与变量
注意：π是一个确定的数， 是常量.
系 式 中 ， 其 中 常 量 是 S,h , 变 量 是_
5
;
指出下列变化过程中的变量和常量：
(1)汽油的价格是7.4元/升，加油xL , 车主加油付 油 费 为回元 ；
(2)小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为n ;
(3)用长为40 om 的绳子围矩形，围成的矩形一边长 为区cm, 其面积为Scm .
(4)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一 个锐角β(度)与α间的关系式是β 90 -@
练一练
怎样用含重物质量m(kg) 的式子表示受力后的弹簧长度 l(cm)
解：由题意可知m每增加1,/增加0.5,所以I=10+0.5m.
重物的 质量(kg) 1 2 3 4
5
弹簧长 度(cm) 10.5 11 11.5 12
12.5
确定两个量之间的关系式
弹簧的长度与所挂重物有关.如果弹簧原长为10cm, 每1kg重
物使弹簧伸长0.5cm, 试填下表：
你坐过摩天
轮吗 想一想，
如果你坐在摩天 轮上，随着时间 的变化，你离开
地面的高度是如 何变化的
摩天轮
h ( 米 )
探究1
3
t(分)
O1234567891011
12
(2)对于给定的时间t, 相应的高度h确定吗
确定，每一个时间t,都有唯一确定的高度h与之对应.
t/min 0 1 2 3 4 5
…
h/m 3 10 38 45 35 10
…
下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m) 与旋转时间t(min)之间的关系.
(1)根据右图填表：
层数n 1 2 3 4 5
.
物体总数y 1 3 6 10 15
···
填表并思考，对于给定任一层数n, 相应的物体总数y确定
对于给定任一层数n, 相应的物体总数y确定，有唯一一个y值和它对应
吗 有几个y值和它对应
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃,则气体的压强
为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与
摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T20.
(1)当t分别为-43℃,-27℃,0℃,18℃ 时，相应的热力学温度T是多少
解：230K、246K、273K、291K;
(2)给定任一个大于-273℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗
有几个T值和它对应
解：确定；有唯一一个T值与之对应.
①时间t、 相应的高度 h;
②层数n 、物体总数y;
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，
相应地就确定了另一个变量的值.
上面的三个问题中，有什么共同特点
练习1
下列各式中，X 是自变量，请判断Y是不是X的函数
(1)y=2x 是 ( 2 ) y=x-3 是
(3)y=±Jx (4)y=x 是 不是
对于x的每一个值， y总有唯一的值与它 对 应 ，y 才是x的函 数。
1
练习2
下面哪个量是自变量 哪个量是自变量的函数 π是一个常 数哟!
(1)4y=5-x x 是自变量，y 是目变量的函数
(2)s=πr r是自变量，s 是自变量的函数
(3)S=100v v是自变量，s 是自变量的函数
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且
对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那 么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
函数的概念
练一练
下列问题中， 一个变量是否是另一个变量的函数 如果是，请指
出自变量.
(1)改变正方形的边长x, 正方形的面积S 随之变化；
(2)秀水村的耕地面积是10 m , 这个村人均占有耕地面积 y ( 单 位：m ) 随这个村人数n 的变化而变化；
(3)P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x, 它对应的实 数为y,y 随 x 的变化而变化.
解： (1) S 是x的函数，其中x是自变量
(2)y 是n的函数，其中n是自变量.
(3)y 不是x的函数.
例如，到原点的距
离为1的点对应实数
1 或 - 1
典例精析
例 下列关于变量x,y 的关系式： ①y=2x+3;②y
=x +3;③y=2|x| ;④ y=± √x;⑤y -3x=10, 其中表示y
方法)判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看
当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
一个x值有两个y 值
与它对应
是x 的函数关系的是 ①②③
解： ( 1 ) 当x=2时，
当 x=3 时 ，
把自变量x的值带入关 系式中，即可求出函 数 的 值 .
(2)求当x取什么值时，函数值为0.
(1)求当x=2,3,-3 时，函数的值；
( 2 ) 令
即当 .
,解得
时 ，y=0.
当x=-3时 ，y=7;
例已知函数
■
■
探究一：图象法、列表法；
探究二：列表法；
探究三：关系式法.
说一说三个探
究分别用了什 么表示方法
表示函数的一般方法
关系式法
图象法
列表法
表示函数的一般方
法有：列表法、关系式法 和图象法.
1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体
的总数是如何变化的
列表法
填写下表：
(2)给定一个大于-273℃的：值，你都能求出相应的T 值 吗
表示函数的一般方法有哪些呢
层数a 1 2 3 4 5
…
物体总数y
…
热 力学温度的零度.热力学温 系：T=t+273,T>0.
,18℃时，相应的热力学温度T是
1/min 0 1 2
A/m
压 强 为 零 . 因 此 度 T(K) 与 招
(1)当1分 多少
0 图4-1
(1)根据图4-1填表：
关系式
.L
法
2. 一 定质量的气体在体积不变时 假若温度降低到 - 273℃,则气体的
图4-1反映了摩天轮上一点的高度h(m) 与旋转时间t(min) 之间的
图象法
(2)对于给定的时间t,相应的高度k确定吗
关系.
小明骑车从家到学校速度是15
千米/时，你能表示出他走过 的路程s与时间t之间的变化关 系吗 S=15t
S是t 的函数吗
S是t的函数
路程s随时间t的变化的图象是什么
自变量的取值范围
探究： 自变量t的取值范围： t≥0
探究： 自变量n的取值范围： n取正整数
●
探究： 自变量t的取值范围： t2-273
注意：自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分，
通常要根据实际问题确定.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a, 函数有唯一确
定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
即如果y是x的函数，当x=a 时，y=b, 那么b叫做当x=a 时的函数值.
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值.
函数值的概念
考 点 确定自变量的取值范围
例汽车的油箱中有汽油50L, 如果不再加油，那么油箱中的油
量y (单位：L) 随行驶里程x (单位：km) 的增加而减少，
平均耗油量为0.1L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子. 叫做函数的解析式
解：(1) 函数关系式为： y=50-0.1x
0.1x表示的意义是什么
0≤x≤500.
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析
式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
(2)指出自变量x的取值范围；
解：( 2 ) 由x≥0及50-0.1x≥0
O
得0≤x≤500。
所以自变量的取值范围是
(3)汽车行驶200 km 时，油箱中还有多少油
解：(3)当 x=200 时，函数y的值为y=50-0.1×200= 30.
因此，当汽车行驶200 km 时，油箱中还有油30L.
下列函数中自变量x的取值范围是什么
(1)y=3x+1; (3)y=√x-5;
(2) ● (4)y= 32x+1. 解：(1) x取全体实数；
( 2 ) 由x+2≠0得 x≠-2;
( 3 ) 由x-5≥0得 x≥5 ;
(4) x 取全体实数.
使函数解 析式有意 义的自变 量的全体.
变式训练
随堂练习
下列图象中，不能表示y是x的函数的是( D )。
【解析】D 选项中，对于x的每 一个取值， y 不满足有唯一确定的
值与之对应，故选D.
C
A
D
B
个 V个 个 个
味 A x O| B → C 心 o D
x
在下图中，不能表示y是x的函数的是 ( D )。
油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量
Q(kg) 与流出时间t(min) 之间的函数关系式是 _ , 自 变
量t的取值范围是 0≤t≤60.
已知函数
(1)求当x=2,3,-3 时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
解：(1)当x=2 时 ，y=2;当x=3 时 ，y=2.5; 当x=-3 时 ，y=7;
(2)当x=0.5时 ，y=0.
课 堂 检 测
基 础 巩 固 题
下列说法中，不正确的是 ( C )。
A.函数不是数，而是一种关系B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C )
A.y=3x B.
C.|y|=x(x≥0) D.y=18x
下列说法中，不正确的是 ( c )。
A.函数不是数，而是一种关系B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C)
A.y=3x B.
C.|y|=x(x≥0) D.y=18x
下列函数中自变量x的取值范围是什么
(1)y=3x+1; (3)y=√x-5;
(2) ; (4) 解 ：(1) x取全体实数；
( 2 ) 由x+2≠0 得 x≠-2;
( 3 ) 由x-5≥0得 x≥5;
(4) 所 以x≥-2且x≠-1.
(1)对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗
答 ： 不是 ●
(2)y 是x的函数吗 为什么
答 ：不是，因为y的值不是唯一的 .
X 1 4 9
16
y=±2x 2和-2 8和-8 1 8 和 - 1 8
3 2 和 - 3 2
填表并回答问题：
下列问题中， 一个变量是否是另一个变量的函数 如果是， 请指出自变量.
(1)改变正方形的边长x, 正方形的面积 S 随之变化；
(2)秀水村的耕地面积是10 m , 这个村人均占有耕地面 积y (单位： m ) 随这个村人数 n 的变化而变化；
(3)P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x, 它 对应的实数为 y,y 随 x 的变化而变化.
解： ( 1) S 是x的函数，其中x 是自变量.
(2)y 是n的函数，其中n是自变量.
(3)y 不是x的函数.
年 月_ 日_ 星期 天气： 学习课题： 知识归纳与整理： 我的收获与困惑：
自我评价：
悄悄话：老师我想对您说：
回顾与反思
数学日记：
在某个变化过程中，如果有两个变量x 与y, 并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么x是 自变量，y 是x的函数.
1.使函数解析式有意义
课堂小结
函数的 概念
函数
和函 函数值 数值
自变量的取值范围
2.符合实际意义
谢 谢
再 见
尚
Xx=
x +px
siK

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