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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第12讲 二元一次方程组的相关概念
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．
要点诠释：
二元一次方程满足的三个条件——
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
要点诠释：
（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【考点1】二元一次方程及其解
【例1】（23-24七年级下·全国·课时练习）已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？
【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）若是关于x、y的二元一次方程，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）关于的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ．
【考点2】二元一次方程组及其解
【例2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？
【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（20-21七年级下·河南漯河·期末）是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是 ．
【考点3】由二元一次方程（组）的解求参数
【例3】（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）如果中的解x、y相同，求m的值．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程有两个解和则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）若是方程的一个解，则的值为 ．
【考点4】二元一次方程（组）的解综合
【例4】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求m的值；
（3）时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？
【变式1】（12-13七年级·湖北黄冈·期末）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（ ）
A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4
【变式2】（11-12八年级上·河南安阳·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ．
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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第12讲 二元一次方程组的相关概念
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．
要点诠释：
二元一次方程满足的三个条件——
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
要点诠释：
（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【考点1】二元一次方程及其解
【例1】（23-24七年级下·全国·课时练习）已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？
【答案】1
【分析】本题考查同解方程、二元一次方程组的解．把相同的解分别代入两个方程，求出m、n的值，再将m、n的值代入即可．
解：把代入，得；
把代入，得．
∴．
故答案为：1．
【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）若是关于x、y的二元一次方程，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．先移项并合并关于x同类项，然后令未知数的系数不等于零列式求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，
∴．
故选B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）关于的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入得出，故方程的解为，再把代如计算即可得出答案．
解：把代入，得，
解得：，
故方程的解为，
把代如，得，
解得，
故答案为：．
【考点2】二元一次方程组及其解
【例2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？
【答案】满足，不一定
【分析】根据“方程组”的解的定义，可知方程组的解是方程组中每个方程的解，而二元一次方程有无数个解，并不都是方程组的解．
解：满足，不一定．
∵的解既是方程的解，也满足，
∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程的解有无数组，
如，，不满足方程组．
因此满足的一对的值不一定是方程组的解．
【点拨】此题考查二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义的区别：二元一次方程组的解一定是每个二元一次方程的解，其中一个二元一次方程的解不一定是方程组的解．
【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此判断即可．
解：A. ，不是二元一次方程组，不符合题意；
B. ，是二元一次方程组，符合题意；
C. ，不是二元一次方程组，不符合题意；
D. ，不是二元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
【变式2】（20-21七年级下·河南漯河·期末）是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如1+3=4，1-3=-2，然后用x，y代换，得．
解：先围绕列一组算式，
如1+3=4，1-3=-2，
然后用x、y代换，得
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，所谓方程组的解，指的是该组解满足方程组中的每一方程．
【考点3】由二元一次方程（组）的解求参数
【例3】（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）如果中的解x、y相同，求m的值．
【答案】．
【分析】根据方程组的解x、y的值相同，联立方程组，求出x，y的值，然后把x，y的值代入即可求出m的值．
解：方程组的解x、y的值相同，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
解得，．
【点拨】本题主要考二元一次方程组的解法，根据题意联立方程组，从而求出x，y的值是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程有两个解和则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据题意将两组解代入转化为关于的方程组进行求解即可．
解：由题意可得：，
，得，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）若是方程的一个解，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入方程即可得出答案，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解此题的关键．
解：是方程的一个解，
，
故答案为：．
【考点4】二元一次方程（组）的解综合
【例4】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求m的值；
（3）时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？
【答案】（1），；，；（2）；（3）
【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键．
（1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可．
（2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案．
（3）方程变形后，确定出公共解即可．
（1）解：方程，
解得：，
当时，；，．
（2）联立得：，
解得：，
代入得：，
解得：．
（3）∵，即总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴，，
解得：，．
则方程的公共解为．
【变式1】（12-13七年级·湖北黄冈·期末）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（ ）
A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4
【答案】C
【分析】把已知的未知数的值向条件都明确的方程中代，计算出另一个未知数的值，二次回代，计算另一个值即可．
解：因为x=2，x+y=3，
所以2+y=3,
解得y=1，
所以2x+y=5，
故选C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解即两个方程的公共解，理解定义是解题的关键．
【变式2】（11-12八年级上·河南安阳·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ．
【答案】/0.75
【分析】将k看做已知数求出x与y，代入2x十3y= 6中计算即可得到k的値．
解：
①+②得：2x=14k，即x=7k，
将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=-2k，
将x=7k，y=-2k代入2x+3y=6得：14k-6k=6，
解得：k=
故答案为：
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
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