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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第14讲 实际问题与二元一次方程组
要点一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
要点二、常见的一些等量关系（二）
1．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
2.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
3．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
要点三、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点1】和差倍分问题
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？
【变式1】（23-24八年级上·广西玉林·期末）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ．
【考点2】产品配套与分配问题
【例2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）一方有难，八方支援．甘肃省临夏州积石山县地震牵动亿万国人的心，众多企业伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往灾区，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
【变式1】（22-23七年级下·四川广安·期末）某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示）
【考点3】工程问题
【例3】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天．
（1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲： 乙：
根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数表示的意义：
甲：表示_________________；
乙：表示_________________．
（2）从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米．
【变式1】（21-22八年级上·四川巴中·期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ．
【考点4】行程问题
【例4】（23-24八年级上·广东梅州·期中）根据题意列出方程组．
（1）甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，小轿车从甲地出发，小时后，大客车从乙地出发，相向而行．又经过小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行千米．设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·随堂练习）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分．
【考点5】方案问题
【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表：
型号 A B C
单价/元 6 000 4 000 2 500
已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择．
【变式1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）糖葫芦一般是用竹签穿上山楂，再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别穿在若干根竹签上．如果每根竹签穿5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签穿8个山楂，还剩余7根竹签．设竹签有根，山楂有个，则下列说法错误的是（ ）
A．用含的代数式表示可以是 B．依据题意可得方程组
C．竹签有22根 D．山楂有104个
【变式2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 种．
【考点6】几何图形问题
【例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图所示．
（1）求每个大棚的长和宽；
（2）现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过优惠500元；方案二是每平方米70元，超过优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？
【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．48 B．72 C．36 D．24
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的4个长方形纸片摆成的．若点，则点B的坐标为 ．
【考点7】数字问题
【例7】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．
小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数．
【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·期末）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·陕西西安·一模）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为 ．
【考点8】年龄问题
【例8】（19-20七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁．
【变式2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
【考点9】销售、利润问题
【例9】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）某电商销售A、B两种产品，相关信息如下表．
进价（元/件） 售价（元/件）
A种产品 30 45
B种产品 40 60
(1)该电商十月份售出了A、B两种产品共840件，总利润是15600元，该电商十月份售出A、B两种产品各多少件？（利润售价进价）
(2)该电商在“双十一”期间采取了以下优惠方案：A种产品实行“买五免一”的成组销售优惠活动（每5件商品为一组，每买5件商品，其中1件商品免费），B种产品打八五折．
①A种产品实行的“买五免一”优惠活动，相当于每件A种产品打______________折销售．
②该电商“双十一”期间售出了A种产品500件，B种产品若干件，且总利润比十月份增加了5000元，则该电商“双十一”期间售出了B种产品多少件？
【变式1】（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（ ）
A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元
【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为 元．
【考点10】古代问题
【例10】（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【变式1】（22-23八年级上·云南文山·期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·湖北·一模）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）
【考点11】图表信息问题
【例11】（21-22七年级下·湖南株洲·期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．
(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．
【变式1】（2024七年级下·北京·专题练习）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则的值为（　　）
A．1 B．5 C．25 D．32
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下：
答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10
人数 0 2 5 7 … 8 4 1
（1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题；
（2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题．
该班学生共有 人参加智力竞赛．
【考点12】几何图形问题
【例12】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
(1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长；
(2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【变式1】（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形，，大长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ．
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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第14讲 实际问题与二元一次方程组
要点一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
要点二、常见的一些等量关系（二）
1．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
2.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
3．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
要点三、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点1】和差倍分问题
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？
【答案】（1）A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元；（2）一共需要4600元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元列出方程组求解即可；
（2）根据（1）所求分别求出两种机器人的费用，然后求和即可得到答案．
（1）解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元．
由题意得，，
解得：，
答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元．
（2）解：元
答：一共需要4600元．
【变式1】（23-24八年级上·广西玉林·期末）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．
解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，
由题意可得：，
故选：D．
【变式2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ．
【答案】67
【分析】设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可．
解：设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，由题意，得：
，
解得：；
∴到云水涧旅游的人数为；
故答案为：．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键．
【考点2】产品配套与分配问题
【例2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）一方有难，八方支援．甘肃省临夏州积石山县地震牵动亿万国人的心，众多企业伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往灾区，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
【答案】（1）1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资；（2）共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
【分析】本题考查的是二元一次方程组与二元一次方程的正整数解的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，利用“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”，再建立方程组解题即可；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，利用“3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物”建立二元一次方程求解即可．
（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得： ，
解得： ，
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：，
∴，
又∵a，b均为非负整数，
∴或 或，
∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
【变式1】（22-23七年级下·四川广安·期末）某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，根据“仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人”，即可列出二元一次方程组．
解：设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，
根据题意得：，
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2】（2023七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解．
解：根据题意得：，
①+②得：，
∴．
故答案为：．
【考点3】工程问题
【例3】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天．
（1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲： 乙：
根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数表示的意义：
甲：表示_________________；
乙：表示_________________．
（2）从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米．
【答案】（1）工程队工作的天数；工程队整治的河边道路总长度；（2）任选一组求解（答案不唯一），具体见分析
【分析】
本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，读懂题意，理解所设未知数，找到等量关系列方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
（1）根据题意，结合题中所给方程组即可得到答案；
（2）根据题意，补全甲、乙两位同学所列的方程组，利用二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
（1）解：由题意，结合题中所给方程组可知：
工程队工作的天数；工程队整治的河边道路总长度；
故答案为：工程队工作的天数；工程队整治的河边道路总长度；
（2）解：①若补全甲的方程组：，解此方程组得，
，，
答：两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
②若补全乙的方程组：，解此方程组得，
答：两个工程队分别整治河边道路150米和200米．
【变式1】（21-22八年级上·四川巴中·期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
【答案】B
【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论．
解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，
依题意，得，
解得：，
∵5ax=30a+5a，
∴x=7．
答：要同时开动7台机组．
故选：B．
【点拨】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，
依题意可得：．
故答案为：．
【考点4】行程问题
【例4】（23-24八年级上·广东梅州·期中）根据题意列出方程组．
（1）甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．
（1）设乙的速度为米分，则甲的速度为米分，环形场地的周长为米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程慢者走的路程环形周长建立方程即可求解；
（2）由题意可知鸡与笼的总数是不变的，由此可得两个等量关系式：即每笼放4只时，笼中鸡的总数鸡的总数；当笼中放5只鸡时，（笼的总数鸡的总数．
（1）解：设乙的速度为米分，则甲的速度为米分，环形场地的周长为米，由题意，得
；
（2）解：设笼的总数为，鸡的总数为只，根据题意可得：
则．
【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，小轿车从甲地出发，小时后，大客车从乙地出发，相向而行．又经过小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行千米．设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，据此即可求得答案．
解：题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，可得
故选：B．
【点拨】本题主要考查实际问题与二元一次方程组，能根据题目中的等量关系得到二元一次方程组是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·全国·随堂练习）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分．
【答案】50
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据速度×时间=路程列方程组即可．
解：设孙悟空的速度是x里/分，风速是y里/分，
依题意，得，解得，
故风速是50里/分，
故答案为：50．
【考点5】方案问题
【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表：
型号 A B C
单价/元 6 000 4 000 2 500
已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择．
【答案】有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台
【分析】
此题考查了二元一次方程组解决方案问题的运用，在解答时要考虑三种情况及题中的整数性，结合等量关系：单价×数量=总价．列方程组求解．
分三种情况进行计算：一是购买，A的单价×数量+B的单价×数量；二是购买，A的单价×数量+C的单价×数量；三是购买，B的单价×数量+C的单价×数量．求出三种情况的解就可以求出结论．
解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：
（1）只购进A型电脑和B型电脑，
则
解得 （不符合题意，舍去）
（2）只购进A型电脑和C型电脑，
则，解得，
（3）只购进B型电脑和C型电脑，
则解得
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．
【变式1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）糖葫芦一般是用竹签穿上山楂，再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别穿在若干根竹签上．如果每根竹签穿5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签穿8个山楂，还剩余7根竹签．设竹签有根，山楂有个，则下列说法错误的是（ ）
A．用含的代数式表示可以是 B．依据题意可得方程组
C．竹签有22根 D．山楂有104个
【答案】C
【分析】设竹签有根，山楂有个，根据“如果每根竹签穿5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签穿8个山楂，还剩余7根竹签”列方程组求解即可．
解：由题意，得，故B正确；
由①，得，故A正确；
解方程组得，故C错误，D正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
【变式2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 种．
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价二单价数量，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，
又∵均为正整数，
或或，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
【考点6】几何图形问题
【例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图所示．
（1）求每个大棚的长和宽；
（2）现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过优惠500元；方案二是每平方米70元，超过优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？
【答案】（1）每个大棚的长为14m，宽为8m
（2）选择方案二更优惠
解：（1）设每个大棚的长为am，宽为bm．
根据题意，得解得
故每个大棚的长为14m，宽为8m．
（2）大棚的面积为．
方案一：（元）；
方案二：（元）．
，选择方案二更优惠．
【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．48 B．72 C．36 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
解：设小长方形的长、宽分别为，
依题意得，
解之得，
∴小长方形的长、宽分别为，
∴
．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的4个长方形纸片摆成的．若点，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，结合点B所在的象限，即可得出结论．
解：设小长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【考点7】数字问题
【例7】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．
小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数．
【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键．
解：由题意得：小华在百位拨的数字是6，
设个位数字是，十位数字是，
由题意得：，
解这个方程组，得：，
答：这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠．
【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·期末）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组．
解：根据题意，得．
故选：C．
【变式2】（2024·陕西西安·一模）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和
相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．
解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第3列中间数与第2行的最右边的数重合，
∴
解得：．
设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，
则由题意得：，
解得：，
∴．
故答案为：9．
【考点8】年龄问题
【例8】（19-20七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁．
【答案】 26 13
【解析】略
【变式2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
【答案】C
【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．
解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生，
则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁），
设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点9】销售、利润问题
【例9】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）某电商销售A、B两种产品，相关信息如下表．
进价（元/件） 售价（元/件）
A种产品 30 45
B种产品 40 60
(1)该电商十月份售出了A、B两种产品共840件，总利润是15600元，该电商十月份售出A、B两种产品各多少件？（利润售价进价）
(2)该电商在“双十一”期间采取了以下优惠方案：A种产品实行“买五免一”的成组销售优惠活动（每5件商品为一组，每买5件商品，其中1件商品免费），B种产品打八五折．
①A种产品实行的“买五免一”优惠活动，相当于每件A种产品打______________折销售．
②该电商“双十一”期间售出了A种产品500件，B种产品若干件，且总利润比十月份增加了5000元，则该电商“双十一”期间售出了B种产品多少件？
【答案】(1)A种产品240件，B种产品600件 (2)①八；②1600件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设该电商十月份售出A种产品x件，则售出B种产品件．根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）①求出“买五免一”优惠活动每件A种产品的价格，再除以原价，即可得到答案；
②设该电商“双十一”期间售出了B种产品y件，根据“双十一”期间优惠活动，表示出两种产品的总利润，再列一元一次方程求解即可．
解：（1）解：设该电商十月份售出A种产品x件，则售出B种产品件．
根据题意，得，
解得，
，
答：该电商十月份售出A种产品240件，B种产品600件．
（2）解：①“买五免一”优惠活动，相当于花4件A种产品的价钱，买到5件A种产品，
所以每件A种产品的价格为元，
，即相当于每件A种产品打八折销售，
故答案为：八
②设该电商“双十一”期间售出了B种产品y件，
所以“双十一”期间这两种产品的总利润为元，
因为“双十一”期间这两种产品的总利润比十月份增加了5000元，
所以，
解得．
故该电商“双十一”期间售出了B种产品1600件．
【变式1】（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（ ）
A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得，
解得：
即，两种图书的单价分别为10元、30元，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为 元．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟读题目，找出题目中的关系，列出方程组，从而解方程组．
设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，则根据题意列出二元一次方程组，解方程组，求出x的值，即可得到答案．
解：根据题意，设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，
则甲店的耳机进价为：元；标价为：元；
∵甲乙两店的利润率分别为和，
∴，
解得：，
∴乙店每副耳机的进价为元；
故答案为：．
【考点10】古代问题
【例10】（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子；(2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．
（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）设购买头牛，只羊，
依题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
为的倍数，
羊的数量不少于牛数量的倍，
，
或，
商人有种购买方法：
购买头牛，只羊；
购买头牛，只羊．
【变式1】（22-23八年级上·云南文山·期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组即可．
解：根据题意，得，
故选：C．
【变式2】（2024·湖北·一模）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）
【答案】 20 15
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设绳索长x尺，竿长y尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即可．
解：设绳索长x尺，竿长y尺，
由题意得：，
解得：，
即绳索长20尺，竿长15尺，
故答案为：20，15．
【考点11】图表信息问题
【例11】（21-22七年级下·湖南株洲·期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．
(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．
【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元；(2)不能，理由见解析；(3)见解析
【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标；
（3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元．
（2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下：
设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，
依题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
不符合题意，舍去，
即不能实现利润为1200元的目标．
（3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，
依题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
该公司共有3种购买方案，
方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇；
方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇；
方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
【变式1】（2024七年级下·北京·专题练习）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则的值为（　　）
A．1 B．5 C．25 D．32
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组，有理数乘方运算的运用，根据题意列式，再根据解二元一次方程组的方法求出的值，代入，根据有理数乘方运算即可求解，掌握解二元一次方程组，有理数乘方运算法则是解题的关键．
解：根据题意，可得：，
由①，可得：，
由②，可得：，
由③④，可得：，
解得，
把代入①，解得，
∴．
故选：C．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下：
答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10
人数 0 2 5 7 … 8 4 1
（1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题；
（2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题．
该班学生共有 人参加智力竞赛．
【答案】55
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设答对4～7题的有x人，共答对y题，根据“对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题”可得方程，根据“对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题”可得方程，联立组成方程组，求解即可得到对4～7题的人数，进而可求出学生总数．
解：设答对4～7题的有x人，共答对y题，则
，
解得：，
∴参加竞赛的学生人数为（人）．
故答案为：55．
【考点12】几何图形问题
【例12】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
(1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长；
(2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是，；(2)为定值，过程见解析
【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式：
（1）设小长方形的宽为，长为，依题意，得，求解即可；
（2）根据题意可知个小长方形的周长，根据题意可知，，大长方形的周长．
解：（1）设小长方形的宽为，长为．根据题意，得
解得
答：小长方形的相邻两边长分别是，．
（2）是定值，理由如下：
根据题意可知个小长方形的周长．
根据题意可知，，大长方形的周长．
可得．
所以，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为．
【变式1】（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形，，大长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 由图可看出本题的等量关系：小长方形的长小长方形的宽；小长方形的长+宽，据此可以列出方程组求解．
解：设小长方形的长为x，宽为y．
由图可知，
解得．
所以长方形的长为10，宽为7，
∴长方形的周长为，
故选B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大，根据图中两种放置的方式，列出二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大，
由题意得：
，
解得：，
∴桌子的高度为，
故答案为：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第1页（共29页）

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