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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第15讲 三元一次方程组
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
（1）三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
（2）三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
（1）三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤：
1．利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
2．将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
3．解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
4．将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点1】解三元一次方程组
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）解下列三元一次方程组：
(1)； (2)
【变式1】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ．
【考点2】三元一次方程组的特殊解法
【例2】（23-24九年级上·长沙·阶段练习）已知，，为正数，且，求的值．
【变式1】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则（ ）
A．12 B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·随堂练习）若是三元一次方程组的解，则的值是 ．
【考点3】三元一次方程组的应用
【例3】（22-23七年级下·四川遂宁·阶段练习）关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35；
（1）求a，b，c的值
（2）当时，求代数式的值．
【变式1】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表：
1 2
7
则值为（ ）
A．15 B．19 C．21 D．23
【变式2】（22-23七年级下·福建泉州·期末）已知满足，则 ．
【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】
已知实数、满足，求和的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组，求和的值；
（2）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）有3堆硬币，每枚硬币的面值相同．小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放入第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有 枚硬币．
【变式2】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平右边应放“▲”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第15讲 三元一次方程组
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
（1）三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
（2）三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
（1）三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤：
1．利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
2．将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
3．解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
4．将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点1】解三元一次方程组
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）解下列三元一次方程组：
(1)； (2)
【答案】(1)； (2)
解：（1）
由①，得4x＝3y，x＝y④
由②得4z＝5y，z＝y，⑤
把④和⑤代入③，得，解得y＝12
把y＝12代入④和⑤，得．
∴原方程组的解为．
（2）将原方程组改写为
由②，得x＝6＋4y，代入①化简，得
11y－4z＝－19，④
由③，得2y＋3z＝4，⑤
由④×3＋⑤×4，得33y＋8y＝－57＋16，
∴y＝－1
将y＝－1代入⑤，得z＝2
将y＝－1代入②，得x＝2
∴原方程组的解为
【变式1】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解．
方程组利用加减消元法求解即可．
解：
得：
得：
把代入中
，
把，代入得：
，
方程组的解为，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得．
解：，
由②③得：④，
∴
故答案为：．
【考点2】三元一次方程组的特殊解法
【例2】（23-24九年级上·长沙·阶段练习）已知，，为正数，且，求的值．
【答案】
【分析】将原方程组变形得，，，进而可求出，，的值，然后代入计算即可．
解：，
，
，
同理可得：，，
解得：，，，
．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，正确变形是解答本题的关键．
【变式1】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程②得到，结合方程①可得，由此即可得到答案．
解：
由②得，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，正确求出x、y之间的关系式是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·全国·随堂练习）若是三元一次方程组的解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，把代入中即可求解，解题的关键是理解三元一次方程组的解．
解：∵是三元一次方程组的解，
∴将代入中得：
，
解得：，
故答案为：．
【考点3】三元一次方程组的应用
【例3】（22-23七年级下·四川遂宁·阶段练习）关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35；
（1）求a，b，c的值
（2）当时，求代数式的值．
【答案】(1)，，；(2)16
【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答；
（2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令代入计算即可．
（1）解：由题意得：，
得：，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：，
（2）当时，，
∴的值为16．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表：
1 2
7
则值为（ ）
A．15 B．19 C．21 D．23
【答案】D
【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案．
解：当时，①，
当时，②，
当时，③，
当时，④，
③①得：，即，
④②得：，
∴，
∴，
∴；
故选D
【变式2】（22-23七年级下·福建泉州·期末）已知满足，则 ．
【答案】20
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；
解：
得：
得：
故答案为：20
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值，练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】
已知实数、满足，求和的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组，求和的值；
（2）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
【答案】(1)，； (2)1根丙种钢条长米．
【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
（1）利用整体思想进行求解即可；
（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可；
解：（1）解：，
，得：；
，得：；
（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，
由题意，得：，
，得：；
∴丙种钢条长米．
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）有3堆硬币，每枚硬币的面值相同．小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放入第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有 枚硬币．
【答案】22
【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x枚硬币，第2堆有y枚硬币，第3堆有z枚硬币．根据最后每堆有16枚硬币列方程组求解．
解：设原来第1堆有x枚硬币，第2堆有y枚硬币，第3堆有z枚硬币，根据题意，得：
，
解得：．
即原来第1堆有22枚硬币．
故答案为：22
【变式2】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平右边应放“▲”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意设■，●，▲分别为，根据题干图列出关于的等式找出等量关系即为本题答案．
解：设■，●，▲分别为，
根据题意得：第一个天平：，
第二个天平：，
即：，
解得：，
∴第三个天平：，即第三个天平左边为一个时，右边为个，
故选：B．
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