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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第18讲 一元一次不等式组
要点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．
要点诠释：
（1）这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
（2）这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
要点诠释：
（1）找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
（2）有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
要点诠释：
（1）利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
（2）列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．
【考点1】一元一次不等式组概念认识及其解集
【例1】（18-19七年级下·福建泉州·期末）已知关于x，y的方程组
（1）当时，求y的值；
（2）若，求k的取值范围.
【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（17-18七年级下·全国·单元测试）写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组： ．
【考点2】求一元一次不等式组解集
【例2】（23-24八年级下·广东茂名·期中）解不等式组：
(1)； (2)
【变式1】（23-24九年级下·湖南娄底·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·福建宁德·期中）已知点在第二象限，则a的取值范围 ．
【考点3】求一元一次不等式组整数解
【例3】（23-24七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
【变式1】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39 B．42 C．45 D．48
【变式2】（2024·广东汕头·一模）不等式组的正整数解是 ．
【考点4】解特殊一元一次不等式组
【例4】（21-22七年级下·全国·单元测试）阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则；
即可以写成： ；
解不等式组得：；
当若，则，
即可以写成：，
解不等式组得：，
综合以上两种情况：不等式解集：或
（以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
（1） ；
(2) ．
【变式1】（20-21七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）已知点位于第二象限，并且，、为整数，符合上述条件的点共有 个．
【考点5】由一元一次不等式组的解集求参数问题
【例5】（2024七年级下·江苏·专题练习）如果不等式组的解集是
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式的解为
【变式1】（23-24七年级下·福建泉州·期中）若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是 ．
【考点6】一元一次不等式组与方程综合问题
【例6】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组．
若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2) 在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【变式1】（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式2】（21-22八年级下·贵州·期末）若不等式组的解集是，则 ．
【考点7】一元一次不等式组的应用
【例7】（23-24七年级下·福建漳州·期中）为加强学生体育素质，某中学在八年级新增篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用540元；购买3个篮球和4个足球共需费用760元．
求篮球和足球的单价分别是多少元？
若学校计划采购篮球、足球共60个，且足球的数量不多于25个，总费用不超过6750元．问该校共有哪几种购买方案？
【变式1】（22-23八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是 ．
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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第18讲 一元一次不等式组
要点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．
要点诠释：
（1）这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
（2）这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
要点诠释：
（1）找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
（2）有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
要点诠释：
（1）利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
（2）列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．
【考点1】一元一次不等式组概念认识及其解集
【例1】（18-19七年级下·福建泉州·期末）已知关于x，y的方程组
（1）当时，求y的值；
（2）若，求k的取值范围.
【答案】（1）x=1,y=6；（2）
【分析】（1） 先求出不等式组的解，再将x=1代入即可解答；（2） 先解得不等式组的解集，再根据不等式的性质，即可求得k的取值范围
解：
（1）①+②可得：
∵
∴
（2）方法一
由方程组解得：
∵
∴
∴
方法二
②-①可得：
∵
∴
∴
∴
【点拨】本题考查不等式组，熟练掌握不等式组的性质及运算法则是解题关键.
【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可．
解：某日我市最高气温是，最低气温是，
当天气温的变化范围是，
故选：C．
【点拨】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键．
【变式2】（17-18七年级下·全国·单元测试）写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可．
解：根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ．注意答案不唯一．
故答案为此题答案不唯一．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【考点2】求一元一次不等式组解集
【例2】（23-24八年级下·广东茂名·期中）解不等式组：
(1)； (2)
【答案】(1); (2)无解
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
解：（1）原不等式组可化为
，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
则不等式组的解集为．
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得．
则原不等式组无解．
【变式1】（23-24九年级下·湖南娄底·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．
本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点．
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴数轴表示为：
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·福建宁德·期中）已知点在第二象限，则a的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【考点3】求一元一次不等式组整数解
【例3】（23-24七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
【答案】，整数解为，，0，1
【分析】本题主要考查了解一元一次不等组，不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的基本步骤，能根据不等式的解集得出不等式组的解集．
先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出整数解，即可解答．
解：解不等式①，得，
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为
∴原不等式组的整数解为，，0，1．
【变式1】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39 B．42 C．45 D．48
【答案】A
【分析】本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据只有3个整数解，列不等式求解即可得到答案；
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组有且只有3个整数解，
不等式组的解为：，
∴这3个整数数解为3，2，1，
，即，
解得，
∵k为整数，
∴k为12，13，14，
∴符合条件的所有整数k的和为：，
故选：A
【变式2】（2024·广东汕头·一模）不等式组的正整数解是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，然后求其解集，最后找出整数解即可．
解：，
解不等式得：，
解不等式，
∴
∴，
∴不等式组的解集为：，
则正整数解为1．
故答案为：1
【考点4】解特殊一元一次不等式组
【例4】（21-22七年级下·全国·单元测试）阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则；
即可以写成： ；
解不等式组得：；
当若，则，
即可以写成：，
解不等式组得：，
综合以上两种情况：不等式解集：或
（以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
（1） ；
(2) ．
【答案】(1)或 (2)
【分析】（1）根据题干给出的计算方法求解即可；（2）根据题干给出的计算方法求解即可；
解：（1）根据原不等式有： 或者：
解不等式组得： 或者，
综合以上两种情况：不等式解集：或 ；
（2）根据原不等式有： 或者：，
解不等式组得： 或者：，
综合以上两种情况：不等式解集：．
【点拨】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算．
【变式1】（20-21七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可．
解：∵[]=2，
∴由题意得2≤＜3，
解得5≤x＜7，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
【变式2】（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）已知点位于第二象限，并且，、为整数，符合上述条件的点共有 个．
【答案】6
【分析】根据已知得出不等式和，求出两不等式的解集，再求出其整数解即可．
解：已知点位于第二象限，
，，
又，
，，
又、为整数，
当时，可取，，，
当时，可取，，
当时，可取．
则坐标为，，，，，共6个．
故答案为：6.
【点拨】本题考查了解一元一次不等式和一次函数的应用，关键是根据题意得出不等式和，主要培养学生的理解能力和计算能力．
【考点5】由一元一次不等式组的解集求参数问题
【例5】（2024七年级下·江苏·专题练习）如果不等式组的解集是
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式的解为
【答案】(1)； (2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键．
（1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围；
（2）根据不等式的基本性质即可得出结论．
解：（1），
由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴；
（2）∵不等式的解为，
∴，
解得．
【变式1】（23-24七年级下·福建泉州·期中）若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案．
解：，
解得：，
不等式组有解，
，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组及不等式组的整数解的应用，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
先解不等式组，根据不等式组只有3个整数解即可确定m的取值范围．
解：
解①得
解②得
不等式的解集为
不等式组只有3个整数解
．
故答案为：．
【考点6】一元一次不等式组与方程综合问题
【例6】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组．
若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2) 在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【答案】(1) ；(2)、0
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；（2）结合（1），由为整数，可得的值．
解：（1），
①②得：，
，
，
，
解得；
（2）关于的不等式的解集为，
，
，
，
，
满足条件的的整数值是、0．
【变式1】（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至少2个整数解，
∴，
∴；
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个，
故选：B．
【变式2】（21-22八年级下·贵州·期末）若不等式组的解集是，则 ．
【答案】
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于，的方程，然后求出，的值，最后代入代数式进行计算即可得解．
解：由，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了一元一次不等式组解集的求法、解一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于，的方程是解题的关键．
【考点7】一元一次不等式组的应用
【例7】（23-24七年级下·福建漳州·期中）为加强学生体育素质，某中学在八年级新增篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用540元；购买3个篮球和4个足球共需费用760元．
求篮球和足球的单价分别是多少元？
若学校计划采购篮球、足球共60个，且足球的数量不多于25个，总费用不超过6750元．问该校共有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为100元
(2)该校共有三种采购方案：采购篮球35个，采购足球25个；采购篮球36个，采购足球24个：采购篮球37个，采购足球23个
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用540元；购买3个篮球和4个足球共需费用760元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求足球的数量不多于25个，且总费用不超过6750元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案；
（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为100元．
（2）设采购篮球a个，则采购足球个，
根据题意，得，
解这个不等式组，得．
∵a取整数，
∴，36，37．
当时，；
当时，：
当时，．
答：该校共有三种采购方案：采购篮球35个，采购足球25个；采购篮球36个，采购足球24个：采购篮球37个，采购足球23个．
【变式1】（22-23八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
【点拨】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．
【变式2】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键．根据题意，先计算第一次，得到的结果为，然后再计算第二次的结果为，列出不等式组，从而求出x的取值范围．
解：根据题意，
第一次计算得：；
第二次计算得：；
∵如果程序操作进行了二次才停止，则有
解得：，
∴的取值范围是；
故答案为：．
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