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2025年中考数学（新考向）4月模拟试卷03
(时间：120分钟　满分：120分)
班级：________　　姓名：________
一、选择题(每题3分，共30分)
1．的倒数是(　A　)
A．2 B．－2 C． D．－
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是(　D　)
3．近年来，我国新生儿数量逐年减少引起广泛关注．根据国家统计局2024年1月公布的数据，2023年全年出生人口为902万人，其中“902万”用科学记数法表示为(　C　)
A．9.02×104 B．9.02×105
C．9.02×106 D．9.02×107
4．如图是某几何体的三视图，该几何体是(　B　)
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
5．下列计算正确的是(　C　)
A．5a2－3a2＝2 B．a2·a3＝a6
C．(－2a2)3＝－8a6 D．(a－b)2＝a2－b2
6．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，交CD于点D，∠ADC＝30°，则∠CAB的度数为(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有x斗，那么可列方程为(　D　)
A．3x＋10(5－x)＝30 B．＋＝5
C．＋＝5 D．10x＋3(5－x)＝30
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝40°，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为(　B　)
A．10° B．20° C．25° D．30°
9．如图，已知点A(－3，1)，B(－3，－5)，点C(x，y)在线段AB上运动．当OC＞OA时，y的取值范围为(　A　)
A．－5≤y＜－1 B．y＜1
C．－1＜y＜1 D．－5＜y≤－1
10．如图，A(a，b)是抛物线y＝x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B(c，d).当点A在抛物线上运动的过程中(点A不与坐标原点O重合)，有以下结论：①ac为定值；②ac＝－bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的有(　C　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共15分)
11．计算：－()-2＋(3－π)0＝__－4__．
12．如图所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖上的概率为____．
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是__x≥－2且x≠1__．
14．数轴上点A，B表示的数分别为－3和5，点M也在该数轴上，且到A，B两点的距离相等，则点M表示的数为__1__．
15．在矩形ABCD(AB＜BC)的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在边AD上点F处．
(1)如图1，若∠CBE＝15°，则＝____；
(2)如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝____．
　　　　　
三、解答题(共9题，共75分)
16．(6分)先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝2.
解：原式＝·＝·＝.
当x＝2时，原式＝＝.
17．(6分)如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G.求证：四边形OGCF是正方形．
证明：过点O作OH⊥AB于点H.
∵OF⊥AC，OG⊥BC，∴∠OGC＝∠OFC＝90°.
∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．
∵AD平分∠BAC，∴OH＝OF.
∵BE平分∠ABC，∴OH＝OG，∴OF＝OG，
∴四边形OGCF是正方形．
18．(6分)某校开学时对九年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为x分(x为整数)，将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级(优秀、良好、合格、不合格分别用A，B，C，D表示)，A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图所示不完整的统计图表．
等级 频数(人数)
A(90≤x≤100) a
B(80≤x＜90) 16
C(60≤x＜80) c
D(0≤x＜60) 4
　
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的a＝__8__，c＝__12__，m＝__30__；
(2)这组数据的中位数所在的等级是__B__；
(3)该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校九年级共有1 000名学生，求该校九年级需要进行安全再教育的学生有多少人．
解：1 000×＝400(人).
答：该校九年级需要进行安全再教育的学生大约有400人．
19．(8分)如图，一次函数y1＝－x＋b与反比例函数y2＝(k＞0)的图象相交于点A，B(3，n)，与x轴相交于点C(4，0)，连接OB.
(1)求b的值和点A的坐标；
(2)求△BOC的面积．
解：(1)把点C(4，0)代入一次函数y1＝－x＋b，
得－4＋b＝0，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋4.
把点B(3，n)代入y＝－x＋4，
得－3＋4＝n，解得n＝1，∴B(3，1).
把点B(3，1)代入y＝，得k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝.
联立解得或∴A(1，3).
(2)∵C(4，0)，∴OC＝4，
∴S△BOC＝OC·yB＝×4×1＝2.
20．(8分)数学兴趣小组到风景名胜区测量一座塑像的高度．如图，塑像DE在高44 m的小山CE上，在A处测得塑像底部E的仰角为22°，再沿AC方向前进50 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为45°，求塑像DE的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.4)
解：由题意，得DC⊥AC，∠DBC＝45°，AB＝50 m，
∴∠D＝∠DBC＝45°，∴DC＝BC.
设DC＝BC＝x m，
则AC＝AB＋BC＝(50＋x)m.
在Rt△ACE中，tan ∠EAC＝，∠EAC＝22°，
∴≈0.4，解得x＝60.
经检验，x＝60是分式方程的解，且符合题意，
∴DC＝60 m，∴DE＝DC－CE＝60－44＝16(m).
答：塑像DE的高度为16 m．
21．(8分)如图，AB为⊙O的直径，BE与⊙O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE于点D.
(1)求证：AE＝AB；
(2)若AD＝，BC＝2，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∵CD⊥AE，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，
∴∠B＝∠E，∴AE＝AB.
(2)解：连接AC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACE＝90°.
由(1)知AE＝AB，∴EC＝BC＝2.
∵CD⊥AE，∴∠CDE＝90°＝∠ACE，∴△CDE∽△ACE，∴＝.
设⊙O的半径为R，则AE＝AB＝2R，∴DE＝AE－AD＝2R－，
∴＝，解得R1＝－(舍)，R2＝，∴⊙O的半径为.
22．(10分)如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18 m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32 m．设矩形场地的长为x m，宽为y m，总面积为S m2.
(1)分别求出y与x，S与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大总面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长度增加8 m，则矩形场地的最大总面积能否达到100 m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
解：(1)由题意，得x＋4y＝32，
∴y＝－x＋8，
∴S＝xy＝x(－x＋8)＝－x2＋8x.
(2)由(1)知S＝－x2＋8x＝－(x－16)2＋64.
∵－＜0，∴当x＝16时，S有最大值，最大值为64.
答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大总面积为64 m2.
(3)不能．理由如下：由题意，得x＋4y＝32＋8，∴y＝－x＋10，
∴S＝xy＝x(－x＋10)＝－x2＋10x.
当S＝100时，－x2＋10x＝100，解得x1＝x2＝20.
∵18＜20，∴矩形场地的最大总面积不能达到100 m2.
23．(11分)(1)如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BH⊥AC于点H，求证：△AHB∽△BHC；
(2)如图2，已知∠ABC＝∠D＝90°，E为BD上一点，且AE＝AB，若＝，求的值；
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E为边CD上一点，且AE＝AB，BE⊥CD，求的值．
　　　　
(1)证明：∵BH⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠AHB＝∠BHC＝90°，∠A＋∠C＝90°，∠A＋∠ABH＝90°，
∴∠ABH＝∠C，∴△AHB∽△BHC.
(2)解：过点A作AF⊥BE于点F，则∠AFB＝90°＝∠D.
∵AE＝AB，AF⊥BE，∴BF＝EF＝BE.
∵∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＋∠CBD＝90°，∠C＋∠CBD＝90°，
∴∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△BCD，∴＝.
又∵＝，∴＝，∴＝.
(3)解：过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N.
∵AE＝AB，AH⊥BE，∴BH＝EH＝BE.
设BH＝x，则EH＝x，BE＝2x.
∵AH⊥BE，∠ABC＝90°，BE⊥CD，
∴∠AHB＝∠BEC＝90°，∠ABH＋∠CBE＝90°，∠C＋∠CBE＝90°，
∴∠ABH＝∠C.
又∵AB＝BC，∴△AHB≌△BEC(AAS)，
∴AH＝BE＝2x，CE＝BH＝x.
∵AH⊥BE，∠DAB＝90°，
∴∠AHB＝∠NHA＝90°，∠ABH＋∠N＝90°，∠N＋∠NAH＝90°，
∴∠ABH＝∠NAH，
∴△AHB∽△NHA，∴＝，∴＝，
∴NH＝4x，∴NE＝NH－EH＝4x－x＝3x.
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AN∥BC，∴△NED∽△BEC，
∴＝＝＝.
24．(12分)已知抛物线y＝－(x－m)2＋4m的顶点在第一象限．
(1)如图1，若m＝1，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C.
①求A，B两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接AD，若AD恰好平分四边形ABDC的面积，求点D的坐标；
(2)如图2，P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形TMNP是平行四边形，且∠MTP＝45°，求OT长的最大值．
　　　
解：(1)当m＝1时，抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
①当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0).
②连接BC，交AD于点E，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为F，G，∴∠BFE＝∠CGE＝90°.
由题意，得S△ADB＝S△ADC，∴BF＝CG.
又∵∠BEF＝∠CEG，
∴△BFE≌△CGE(AAS)，∴BE＝CE，∴E为BC的中点．
由B(3，0)，C(0，3)，得点E的坐标为(，).
由点A，E的坐标易得直线AD的解析式为y＝x＋.
当－x2＋2x＋3＝x＋时，解得x1＝，x2＝－1(舍去)，
∴点D的坐标为(，).
(2)过点N作NH⊥x轴，垂足为H.
∵P是抛物线对称轴与x轴的交点，∴xP＝m.
∵T是x轴负半轴上一点，∴设xT＝t(t＜0)，则OT＝－t.
∵四边形TMNP是平行四边形，
∴MN∥PT，且MN＝PT，∠NPH＝∠MTP，
∴xN－xM＝xP－xT＝m－t，xM＋xN＝2m，两式相加，得xN＝.
∵∠NPH＝∠MTP＝45°，∴△PNH为等腰直角三角形，
∴NH＝PH＝OH－OP＝xN－xP＝－m＝，
∴N(，).
将点N的坐标代入y＝－(x－m)2＋4m，得＝－(－m)2＋4m，
整理得关于m的方程为m2－(2t＋18)m＋t2＋2t＝0，
∴Δ＝(2t＋18)2－4(t2＋2t)≥0，解得t≥－，
此时关于m的方程的两根之和m1＋m2＝2t＋18＞0，
当t≥－时，m必有正根，∴OT长的最大值是.
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2025年中考数学（新考向）4月模拟试卷03
(时间：120分钟　满分：120分)
班级：________　　姓名：________
一、选择题(每题3分，共30分)
1．的倒数是(　A　)
A．2 B．－2 C． D．－
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是(　D　)
3．近年来，我国新生儿数量逐年减少引起广泛关注．根据国家统计局2024年1月公布的数据，2023年全年出生人口为902万人，其中“902万”用科学记数法表示为(　C　)
A．9.02×104 B．9.02×105
C．9.02×106 D．9.02×107
4．如图是某几何体的三视图，该几何体是(　B　)
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
5．下列计算正确的是(　C　)
A．5a2－3a2＝2 B．a2·a3＝a6
C．(－2a2)3＝－8a6 D．(a－b)2＝a2－b2
6．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，交CD于点D，∠ADC＝30°，则∠CAB的度数为(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有x斗，那么可列方程为(　D　)
A．3x＋10(5－x)＝30 B．＋＝5
C．＋＝5 D．10x＋3(5－x)＝30
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝40°，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为(　B　)
A．10° B．20° C．25° D．30°
9．如图，已知点A(－3，1)，B(－3，－5)，点C(x，y)在线段AB上运动．当OC＞OA时，y的取值范围为(　A　)
A．－5≤y＜－1 B．y＜1
C．－1＜y＜1 D．－5＜y≤－1
10．如图，A(a，b)是抛物线y＝x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B(c，d).当点A在抛物线上运动的过程中(点A不与坐标原点O重合)，有以下结论：①ac为定值；②ac＝－bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的有(　C　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共15分)
11．计算：－()-2＋(3－π)0＝__－4__．
12．如图所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖上的概率为____．
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是__x≥－2且x≠1__．
14．数轴上点A，B表示的数分别为－3和5，点M也在该数轴上，且到A，B两点的距离相等，则点M表示的数为__1__．
15．在矩形ABCD(AB＜BC)的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在边AD上点F处．
(1)如图1，若∠CBE＝15°，则＝____；
(2)如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝____．
　　　　　
三、解答题(共9题，共75分)
16．(6分)先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝2.
解：原式＝·＝·＝.
当x＝2时，原式＝＝.
17．(6分)如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G.求证：四边形OGCF是正方形．
证明：过点O作OH⊥AB于点H.
∵OF⊥AC，OG⊥BC，∴∠OGC＝∠OFC＝90°.
∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．
∵AD平分∠BAC，∴OH＝OF.
∵BE平分∠ABC，∴OH＝OG，∴OF＝OG，
∴四边形OGCF是正方形．
18．(6分)某校开学时对九年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为x分(x为整数)，将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级(优秀、良好、合格、不合格分别用A，B，C，D表示)，A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图所示不完整的统计图表．
等级 频数(人数)
A(90≤x≤100) a
B(80≤x＜90) 16
C(60≤x＜80) c
D(0≤x＜60) 4
　
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的a＝__8__，c＝__12__，m＝__30__；
(2)这组数据的中位数所在的等级是__B__；
(3)该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校九年级共有1 000名学生，求该校九年级需要进行安全再教育的学生有多少人．
解：1 000×＝400(人).
答：该校九年级需要进行安全再教育的学生大约有400人．
19．(8分)如图，一次函数y1＝－x＋b与反比例函数y2＝(k＞0)的图象相交于点A，B(3，n)，与x轴相交于点C(4，0)，连接OB.
(1)求b的值和点A的坐标；
(2)求△BOC的面积．
解：(1)把点C(4，0)代入一次函数y1＝－x＋b，
得－4＋b＝0，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋4.
把点B(3，n)代入y＝－x＋4，
得－3＋4＝n，解得n＝1，∴B(3，1).
把点B(3，1)代入y＝，得k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝.
联立解得或∴A(1，3).
(2)∵C(4，0)，∴OC＝4，
∴S△BOC＝OC·yB＝×4×1＝2.
20．(8分)数学兴趣小组到风景名胜区测量一座塑像的高度．如图，塑像DE在高44 m的小山CE上，在A处测得塑像底部E的仰角为22°，再沿AC方向前进50 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为45°，求塑像DE的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.4)
解：由题意，得DC⊥AC，∠DBC＝45°，AB＝50 m，
∴∠D＝∠DBC＝45°，∴DC＝BC.
设DC＝BC＝x m，
则AC＝AB＋BC＝(50＋x)m.
在Rt△ACE中，tan ∠EAC＝，∠EAC＝22°，
∴≈0.4，解得x＝60.
经检验，x＝60是分式方程的解，且符合题意，
∴DC＝60 m，∴DE＝DC－CE＝60－44＝16(m).
答：塑像DE的高度为16 m．
21．(8分)如图，AB为⊙O的直径，BE与⊙O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE于点D.
(1)求证：AE＝AB；
(2)若AD＝，BC＝2，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∵CD⊥AE，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，
∴∠B＝∠E，∴AE＝AB.
(2)解：连接AC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACE＝90°.
由(1)知AE＝AB，∴EC＝BC＝2.
∵CD⊥AE，∴∠CDE＝90°＝∠ACE，∴△CDE∽△ACE，∴＝.
设⊙O的半径为R，则AE＝AB＝2R，∴DE＝AE－AD＝2R－，
∴＝，解得R1＝－(舍)，R2＝，∴⊙O的半径为.
22．(10分)如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18 m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32 m．设矩形场地的长为x m，宽为y m，总面积为S m2.
(1)分别求出y与x，S与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大总面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长度增加8 m，则矩形场地的最大总面积能否达到100 m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
解：(1)由题意，得x＋4y＝32，
∴y＝－x＋8，
∴S＝xy＝x(－x＋8)＝－x2＋8x.
(2)由(1)知S＝－x2＋8x＝－(x－16)2＋64.
∵－＜0，∴当x＝16时，S有最大值，最大值为64.
答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大总面积为64 m2.
(3)不能．理由如下：由题意，得x＋4y＝32＋8，∴y＝－x＋10，
∴S＝xy＝x(－x＋10)＝－x2＋10x.
当S＝100时，－x2＋10x＝100，解得x1＝x2＝20.
∵18＜20，∴矩形场地的最大总面积不能达到100 m2.
23．(11分)(1)如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BH⊥AC于点H，求证：△AHB∽△BHC；
(2)如图2，已知∠ABC＝∠D＝90°，E为BD上一点，且AE＝AB，若＝，求的值；
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E为边CD上一点，且AE＝AB，BE⊥CD，求的值．
(1)证明：∵BH⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠AHB＝∠BHC＝90°，∠A＋∠C＝90°，∠A＋∠ABH＝90°，
∴∠ABH＝∠C，∴△AHB∽△BHC.
(2)解：过点A作AF⊥BE于点F，则∠AFB＝90°＝∠D.
∵AE＝AB，AF⊥BE，∴BF＝EF＝BE.
∵∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＋∠CBD＝90°，∠C＋∠CBD＝90°，
∴∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△BCD，∴＝.
又∵＝，∴＝，∴＝.
(3)解：过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N.
∵AE＝AB，AH⊥BE，∴BH＝EH＝BE.
设BH＝x，则EH＝x，BE＝2x.
∵AH⊥BE，∠ABC＝90°，BE⊥CD，
∴∠AHB＝∠BEC＝90°，∠ABH＋∠CBE＝90°，∠C＋∠CBE＝90°，
∴∠ABH＝∠C.
又∵AB＝BC，∴△AHB≌△BEC(AAS)，
∴AH＝BE＝2x，CE＝BH＝x.
∵AH⊥BE，∠DAB＝90°，
∴∠AHB＝∠NHA＝90°，∠ABH＋∠N＝90°，∠N＋∠NAH＝90°，
∴∠ABH＝∠NAH，
∴△AHB∽△NHA，∴＝，∴＝，
∴NH＝4x，∴NE＝NH－EH＝4x－x＝3x.
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AN∥BC，∴△NED∽△BEC，
∴＝＝＝.
24．(12分)已知抛物线y＝－(x－m)2＋4m的顶点在第一象限．
(1)如图1，若m＝1，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C.
①求A，B两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接AD，若AD恰好平分四边形ABDC的面积，求点D的坐标；
(2)如图2，P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形TMNP是平行四边形，且∠MTP＝45°，求OT长的最大值．
解：(1)当m＝1时，抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
①当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0).
②连接BC，交AD于点E，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为F，G，∴∠BFE＝∠CGE＝90°.
由题意，得S△ADB＝S△ADC，∴BF＝CG.
又∵∠BEF＝∠CEG，
∴△BFE≌△CGE(AAS)，∴BE＝CE，∴E为BC的中点．
由B(3，0)，C(0，3)，得点E的坐标为(，).
由点A，E的坐标易得直线AD的解析式为y＝x＋.
当－x2＋2x＋3＝x＋时，解得x1＝，x2＝－1(舍去)，
∴点D的坐标为(，).
(2)过点N作NH⊥x轴，垂足为H.
∵P是抛物线对称轴与x轴的交点，∴xP＝m.
∵T是x轴负半轴上一点，∴设xT＝t(t＜0)，则OT＝－t.
∵四边形TMNP是平行四边形，
∴MN∥PT，且MN＝PT，∠NPH＝∠MTP，
∴xN－xM＝xP－xT＝m－t，xM＋xN＝2m，两式相加，得xN＝.
∵∠NPH＝∠MTP＝45°，∴△PNH为等腰直角三角形，
∴NH＝PH＝OH－OP＝xN－xP＝－m＝，
∴N(，).
将点N的坐标代入y＝－(x－m)2＋4m，得＝－(－m)2＋4m，
整理得关于m的方程为m2－(2t＋18)m＋t2＋2t＝0，
∴Δ＝(2t＋18)2－4(t2＋2t)≥0，解得t≥－，
此时关于m的方程的两根之和m1＋m2＝2t＋18＞0，
当t≥－时，m必有正根，∴OT长的最大值是.
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A
D
C
B
C
C
D
B
A
C
－4
x≥－2且x≠1
1
8
12
30
B
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