资源简介

《4.1.3认识三角形-三角形的高、中线、角平分线》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
三角形按边可以分成几类？三角形的三边关系是什么？
按边可以分成：等腰三角形（等边三角形），不等腰三角形.
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.
活动1：基础性知识
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流.
在点D的运动过程中，特殊位置有：
点D运动到线段AD与BC垂直，
运动到BC的中点，
或运动到AD平分∠BAC.
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
也可叙述如下：
①AF是△ABC的BC边上的高；
②AF⊥BC,垂足为F；
③点F在BC上，且∠AFB =∠AFC =90°.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.
在△ABC中，∵AE是△ABC的BC边上的中线，
∴BE=EC=1/2BC或BC=2BE=2EC或E为边BC中点.
在△ABC，∵BE=EC=1/2BC或BC=2BE=2EC或E为边BC中点，
∴AE是△ABC的BC边上的中线.
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
在△ABC中,∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2=1/2∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2.
在△ABC中,∵∠1=∠2=1/2∠BAC
或∠BAC=2∠1=2∠2，
∴AD是△ABC的一条角平分线.
【基础性练习】
1.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　D　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　A　)
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
3.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线(　D　)
A.△ABE B.△ADF
C.△ABC D.△ABC,△ADF
活动2：拓展性知识
请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形高的性质：三角形的三条高所在的直线交于一点.
请你探究三角形的三条中线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形中线的性质：
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于一点．
【拓展性练习1，2】
4.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是(　B　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm, AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为(　A　)
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°，则∠B=　　50°　　°.
7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　25　　°, AE=　1.5　　cm.
活动4：挑战性知识
你能尝试用折纸或者尺规作出三角形的高线，中线，角平分线吗？
【挑战性练习】
8.如图，在△ABC 中，AD为边BC上的高，E为边BC上的一点，
连接AE .
（1）当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC 的面积为24，求CE 的长.
解：∵AD为边BC上的高，AD=6，S△ABC=24 ，
∴BC×6=24.
∴BC=8 .
∵AE为边BC 上的中线，
∴CE=BC=×8=4 .
（2）当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠DAE=15°，求
∠B 的度数.
解：∵AD为边BC 上的高，
∴∠ADC=90°.
∵∠C=66° ，
∴∠CAD=90° ∠C=90° 66°=24° .
∵∠DAE=15°，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=15°+24°=39° .
∵AE为∠BAC 的平分线，
∴∠BAC=2∠CAE=2×39°=78° .
∴∠B=180° ∠BAC ∠C=180° 78° 66°=36°.
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段　　AE　　是△ABC中BC边上的高.
2.如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是( A )
A. B. C. D.
3.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形( C )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点
4.如图，的面积为，点，，分别为，，的中点，则阴影部分的面积为( B )
A. B. C. D.
5.已知是的高，，，则 或 ．
（综合拓展题）
6.如图，在△ABC 中，AB=16 cm，AC=20 cm，D是BC的中点，
点E 在边AC 上.
（1）若△CDE的周长与四边形ABDE 的周长相等，
求线段AE 的长.
（2）连接BE，若△ABE的面积与△CDE 的面积之间存在2倍关系，求
线段AE 的长.
解：（1）∵C_△CDE=C_四边形ABDE ，
C△CDE=CE+CD+DE ，
C四边形ABDE=AE+AB+BD+DE ，
∴CE+CD+DE=AE+AB+BD+DE .
∵D为BC 的中点，
∴BD=CD .
∴CE=AE+AB .
又∵CE=AC AE ，
∴AC AE=AE+AB .
∵AB=16 cm，AC=20 cm ，
∴20 AE=AE+16 .
∴AE=2 cm .
（2）∵D是BC 的中点，
∴S△BDE=S△CDE .
若△ABE的面积与△CDE 的面积之间存在2倍关系，可分两种情况讨论：
①当S△ABE=2S△CDE 时，
S△ABE=S△BCE，
∴AE=CE=AC=10 cm ；
②当2S△ABE=S△CDE 时，
S△ABE=S△BCE，
∴AE=AC=4 cm .
综上所述，线段AE的长为10 cm或4 cm .
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.已知三角形的三条中线交于一点,下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心.其中正确的是___①③___.
如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= __2_.
3.如图,已知AD是△ABC的中线,且△ABD的周长比△ACD 的周长多4 cm.若AB
=16 cm,则AC=__12__cm .
拓展性作业（必做题）
4.如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD 平分∠ABC交AC于点D,DE//AB,交BC于点E ,求∠BDE 的度数.
解：在△ABC中,∠A=70°,∠C=30° ,
∴∠ABC=180° ∠A ∠C=80°.
∵BD平分∠ABC ,
∴∠ABD=∠ABC=40°.
∵DE//AB,
∴∠BDE=∠ABD=40°.
挑战性作业（选做题）
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90^ ,边BC上有E,D,F 三点,BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F .
（1）以AD为中线的三角形是___△ABC_____，以AE 为角平分线
的三角形是____△ABD____，以AF 为高线的钝角三角形有__3_个.
（2）若∠B=35°,求∠CAF 的度数.
解：在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=35°,
∴∠C=90° 35°=55°.
∵AF⊥BC ,
∴∠CAF=90° 55°=35°.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对三角形的高、中线、角平分线的内容要求是：理解三角形的高、中线和角平分线的概念，能画出任意三角形的高、中线和角平分线；通过观察、操作、推理等活动，了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别所在直线的位置关系；体会数学知识之间的内在联系以及数学与生活的紧密联系，发展空间观念和几何直观。
本节课的学业要求是能准确识别三角形的高、中线和角平分线，会用数学语言描述它们的性质；能在给定的三角形中正确画出高、中线和角平分线，并利用这些线段的性质解决简单的几何问题；能够通过实际操作和探究，总结出三角形三条高、中线、角平分线的相关规律 。通过生活中含有三角形结构的实例引入，如建筑中的三角架，分析其中三角形高、中线、角平分线的实际意义，进而探索其数学定义和性质来落实课标要求内容。以一系列问题串的形式引导学生思考，如“如何确定三角形中一条边上的高？”“中线将三角形分成的两部分面积有什么关系？”等，层层递进，激发学生的好奇心和探究欲，引发学生的认知冲突，从而发展学生的几何思维。同时在学生自主操作、观察思考的基础上，组织学生进行小组合作交流，通过让学生动手画图、测量、比较等手段，引导学生自行归纳出三角形高、中线、角平分线的性质和相关规律。以追问的方式促使学生深入理解这些线段在三角形中的独特作用以及它们与三角形各边、角之间的关系，培养学生的逻辑推理能力。在此过程中，给予学生充分的时间进行思考和实践，让学生在操作中积累经验、理清思路，为后续学习三角形全等及其他几何知识奠定坚实的基础。有效突出了重点，突破了难点，提升学生的空间想象能力和抽象思维能力。
（二）教材解读
《三角形的高、中线、角平分线》是北师大版七年级下册第四章“三角形”的关键内容。从知识体系来看，它承接了学生对三角形基本定义、分类等知识的学习，是在学生已经认识三角形的基础上，对三角形的重要线段展开的深入探究。这部分内容将三角形的研究从整体形态深入到其内部结构，通过对高、中线、角平分线的学习，进一步丰富了三角形的几何性质，为后续研究全等三角形、相似三角形以及三角形的面积计算等知识筑牢根基，在整个初中几何知识体系中占据着重要地位，是培养学生空间观念和逻辑推理能力的重要环节，起着承上启下的作用。
准确理解并画出三角形的高、中线和角平分线，掌握它们的基本性质是本节课的重点；而能够灵活运用这些线段的性质解决复杂几何问题，以及理解三角形三条高、中线、角平分线所在直线的位置关系则是本节课的难点。
教材编排了丰富多样、由浅入深的例题与练习题，从简单的在给定三角形中识别和绘制这些线段，到运用它们的性质进行角度、线段长度的计算以及图形的分析，让学生
在循序渐进的练习中加深对知识的掌握，逐步提升运用几何知识解决问题的能力。同时，教材注重引导学生通过实际动手操作，如折纸、测量等活动，直观感受这些线段的特征与性质，将抽象的几何概念具象化，增强学生对知识的感性认知，进而深化理性理解 ，帮助学生更好地构建三角形的几何知识框架。
三、学情分析
1. 基础知识
在之前的学习中，学生已经认识了三角形的基本概念，包括三角形的定义、分类（按角分类和按边分类）等知识。在小学阶段，学生对三角形有了初步的感性认识，能直观辨别三角形的形状 。通过七年级上册图形初步知识的学习，学生掌握了线段、角等基本图形的性质和画法，这为理解三角形的高、中线和角平分线的概念及画法提供了基础，使学生能够从已有知识出发，顺利过渡到对三角形特殊线段的探究，为本课时的学习搭建了知识桥梁。
2. 行为习惯
学生在长期的数学学习过程中，养成了按时完成作业、积极参与课堂讨论的习惯，课堂上能够跟随教师的引导思考问题。然而，在自主总结归纳知识体系、主动拓展知识应用场景方面还有待加强，对于几何图形的学习，还未能养成从多个角度观察、分析图形特征的习惯，在整理错题、反思解题思路上也需要进一步提升。
3. 关键能力
七年级学生好奇心旺盛，对新鲜的几何知识充满兴趣，具备一定的观察能力和动手操作能力，这有利于开展三角形高、中线和角平分线的探究活动。但他们的空间想象能力和逻辑推理能力仍在发展阶段，在将三角形的抽象概念与具体图形相结合时存在困难，比如在理解钝角三角形高的位置时容易出错，在证明三角形中线相关性质的逻辑推导过程中，思维的严谨性和连贯性不足。希望通过本节课丰富的实践活动和针对性的练习，提升学生在这些方面的能力。
四、学习目标
基础性目标 1.能认识 三角形的高线、中线、角平分线；
拓展性目标 2.能掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义与性质； 3.会准确画出三角形的高线、中线、角平分线；
挑战性目标 4.通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展学生的空间观念.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
主动探究 基础过关 5分钟 提出基础性知识及练习，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生探究拓展性知识及练习并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性知识及练习，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 11分钟 指导学生完成挑战性知识问题的创编改编，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性知识问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 2分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
答疑解惑 拓展能力 8分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
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第四章 三角形
4.1.3认识三角形
--三角形的高、中线、角平分线
郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.能掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义并识别；
拓展性目标 2.会准确画出三角形的高线、中线、角平分线；
3.能掌握三角形的高线、中线、角平分线的性质；
挑战性目标 4.通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展学生的空间观念.
二 复习回顾
预备性知识
三条边都不相等的三角形
等腰三角形
2.三角形的三边关系:
三角形任意两边之和　　　　　　.
三角形任意两边之差　　　　　　.
大于第三边
小于第三边
1.三角形按边分类
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形(三边都相等的三角形）
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流.
在点D的运动过程中，特殊位置有：
点D运动到BC的中点，
运动到线段AD与BC垂直，
或运动到AD平分∠BAC.
三 新知讲解
A
B
C
F
三角形高线的概念：
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
如图, 线段AF是△ABC的的高.
也可叙述如下：
①AF是△ABC的BC边上的高；
②AF⊥BC,垂足为F；
③点F在BC上，且∠AFB =∠AFC =90°.
三 新知讲解
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.
1.三角形中线的概念
B
A
C
E
如图， AE是BC边上的中线.
在△ABC，∵BE=EC=或BC=2BE=2EC或E为边BC中点，
∴AE是△ABC的BC边上的中线.
在△ABC中，∵AE是△ABC的BC边上的中线，
∴BE=EC=或BC=2BE=2EC或E为边BC中点.
2.符号语言：
三 新知讲解
1.三角形角平分线的概念：
1
2
A
B
C
D
在△ABC中,∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2=∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2.
在△ABC中,∵∠1=∠2=∠BAC
或∠BAC=2∠1=2∠2，
∴AD是△ABC的一条角平分线.
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
2.符号语言：
三 新知讲解
基础性练习
1.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
D
三 新知讲解
基础性练习
2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　　)
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
A
三 新知讲解
基础性练习
3.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线(　　)
A.△ABE B.△ADF
C.△ABC D.△ABC,△ADF
D
三 新知讲解
A
B
C
A
B
C
活动2：（拓展性目标1，2）
请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
A
B
C
D
D
F
O
E
D
E
F
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标1，2）
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形的三条高的特性：
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形高的性质：三角形的三条高所在的直线交于一点.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标1，2）
请你探究三角形的三条中线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
钝角三角形和直角三角形的三条中线也交于一点.
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标1，2）
三角形中线的性质：
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
O
三角形的中心都在三角形的内部，如图，点O就是△ABC的重心．
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标1，2）
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的三条角平分线：
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标1，2）
三角形角平分线的性质：
三角形的三条角平分线交于一点．
在每个三角形中，3条角平分线都在三角形的内部.
B C
A
O
三 新知讲解
拓展性练习1，2
5.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm, AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
A
4.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
B
三 新知讲解
拓展性练习1，2
6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,
∠2=20°，则∠B=　　　　°.
50
三 新知讲解
拓展性练习1，2
25
1.5
7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　　　°, AE=　　　　cm.
三 新知讲解
活动4：（挑战性目标）
你能尝试用折纸或者尺规作出三角形的高线，中线，角平分线吗？
三 新知讲解
挑战性练习
8.如图，在 中，为边上的高，为边上的一点，
连接 .
（1）当为边上的中线时，若，
的面积为24，求 的长.
解：为边上的高，， ，
.
为边 上的中线，
.
三 新知讲解
挑战性练习
（2）当为的平分线时，若 ， ，求
的度数.
解：为边 上的高，
.
，
.
，
.
为 的平分线，
.
.
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
1.能掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义并识别；
拓展性目标 2.会准确画出三角形的高线、中线、角平分线；
3.能掌握三角形的高线、中线、角平分线的性质；
挑战性目标 4.通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展学生的空间观念.
五 当堂检测
（必做题）
1.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段
　　　　是△ABC中BC边上的高.
AE
五 当堂检测
（必做题）
2.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B=48°，∠C=68°，则
∠DAE的度数是( A )
A.10° B.12° C.14° D.16°
五 当堂检测
（必做题）
3.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区
域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是
三角形( C )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点
五 当堂检测
（必做题）
4.如图，△ABC的面积为12，点，D,E,F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的
面积为( B )
A.2 B.3 C.4 D.6
5.已知 79°或11° .
五 当堂检测
（综合拓展题）
6.如图，在 中，，，是的中点，
点 在边 上.
（1）若的周长与四边形 的周长相等，
求线段 的长.
（2）连接，若的面积与 的面积之间存在2倍关系，求
线段 的长.
五 当堂检测
（综合拓展题）
解： ，
，
，
.
为 的中点，
.
.
又 ，
.
， ，
.
.
五 当堂检测
（综合拓展题）
解：是 的中点，
.
若的面积与 的面积之间存在2倍关系，可
分两种情况讨论：
①当 时，
， ；
②当 时，
， .
综上所述，线段的长为或 .
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
1.已知三角形的三条中线交于一点,下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一
点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心.其中正确的是______.
①③
2.如图,在中,为边上的中线,于点, 于点
,,,,则 ___.
2
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
3.如图,已知是的中线,且的周长比 的周长多.若
,则____ .
12
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
4.如图,在中, , , 平分
交于点,,交于点 ,求 的度数.
解：在中, , ,
.
平分 ,
.
, .
六 作业布置
拓展性练习(选做题)：
5.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°, ∠CAD=20°,求∠BAC的度数.
解:分以下两种情况:
(1)如图①,若高AD在△ABC的内部,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
(2)如图②,若高AD在△ABC的外部,
则∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.
综上所述,∠BAC的度数为90°或50°.
六 作业布置
挑战性练习(选做题)：
6.如图,在中, ,边上有,, 三点,
,,,垂足为 .
（1）以为中线的三角形是________，以 为角平分线
的三角形是________，以 为高线的钝角三角形有___个.
3
（2）若 ,求 的度数.
解：在中, , ,
.
,
.
Thanks!
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
三角形按边可以分成几类？三角形的三边关系是什么？
活动1：基础性知识
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流.
从 叫做三角形的高线，简称三角形的高.
也可叙述如下：
.
在 ，叫作这个三角形的中线.
.
在三角形中， 叫三角形的角平分线.
.
【基础性练习】
1.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　　)
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
3.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线(　　)
A.△ABE B.△ADF
C.△ABC D.△ABC,△ADF
活动2：拓展性知识
请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形高的性质： .
请你探究三角形的三条中线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形中线的性质： .
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形角平分线的性质： .
【拓展性练习1，2】
4.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm, AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°，则∠B=　　　　°.
7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　　°, AE=　　　cm.
活动4：挑战性知识
你能尝试用折纸或者尺规作出三角形的高线，中线，角平分线吗？
【挑战性练习】
8.如图，在△ABC 中，AD为边BC上的高，E为边BC上的一点，
连接AE .
（1）当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC 的面积为24，求CE 的长.
（2）当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠DAE=15°，求
∠B 的度数.
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段　　　　是△ABC中BC边上的高.
2.如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
3.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形( )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点
4.如图，的面积为，点，，分别为，，的中点，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知是的高，，，则 ．
（综合拓展题）
6.如图，在△ABC 中，AB=16 cm，AC=20 cm，D是BC的中点，
点E 在边AC 上.
（1）若△CDE的周长与四边形ABDE 的周长相等，
求线段AE 的长.
（2）连接BE，若△ABE的面积与△CDE 的面积之间存在2倍关系，求
线段AE 的长.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.已知三角形的三条中线交于一点,下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心.其中正确的是_____.
如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= ___.
3.如图,已知AD是△ABC的中线,且△ABD的周长比△ACD 的周长多4 cm.若AB
=16 cm,则AC=____cm .
拓展性作业（必做题）
4.如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD 平分∠ABC交AC于点D,DE//AB,交BC于点E ,求∠BDE 的度数.
挑战性作业（选做题）
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90^ ,边BC上有E,D,F 三点,BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F .
（1）以AD为中线的三角形是_______，以AE 为角平分线
的三角形是______，以AF 为高线的钝角三角形有_个.
（2）若∠B=35°,求∠CAF 的度数.
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