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第六章 反比例函数 6.2.2
反比例函数
的性质
北师大版九年级上册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？
反比例函数的图象是双曲线
复习引入
问题1
问题2
探究新知
第二部分
PART 02
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反比例函数的图象和性质
合作探究
例1 画反比例函数 与 的图象.
提示：画函数的图象步骤一般为：
列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
-2
-2.4
-3
-4
-6
6
4
3
2.4
2
-12
12
-1
-5
-4
-6
O
-2
x
1
2
3
4
5
6
-3
5
6
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得函数 　与 的图象.
观察这两个函数图象，回答下列问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？
你能由它们的表达式说明原因吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，
考虑问题 (1)(2)，你能得出同
样的结论吗？
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
知识要点
观察与思考
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0) 的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
归纳：
(1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性
点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”).
＜
练一练
例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
反比例函数的图象和性质的初步运用
练一练
已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m = 3.
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的表达式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k = 12.
因为点 B，C 的坐标都满足该表达式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的表达式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O
x
y
例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.
5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .　　
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的表达
式，因为点 B 的坐标不满足该表达式，点 C
的坐标满足该表达式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x =－1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格：
合作探究
反比例函数表达式中 k 的几何意义
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1 与 S2的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系
P (－1，4)， Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 的图象
上也用同样的方法取 P，Q 两
点，并分别向两坐标轴引垂线，
围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格：
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = -k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
y
x
O
P
S
我们就 k＜0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵ 点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab = k.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k.
若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0.
若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k.
B
P
A
综上可知，
S矩形 AOBP = |k|.
k＞0 的情况请同学们自行证明！
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 (k ≠ 0)，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( )
A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC
C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB
1. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点
y
x
O
A
B
C
C
练一练
2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
-12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0.
y
x
O
P
A
3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线
PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2.
例5 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上
典例精析
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P
练一练
解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3
F
S1
S2
S3
是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 ＜ S3
例6 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.
y
D
B
A
C
x
3
2
5
如图所示，在平面直角坐标系中，过点 M 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面积为 8，则k =______.
Q
P
O
x
M
y
－10
练一练
例7 如图所示，点A (x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线
上，且 x2－x1 = 4，y1－y2 =2. 分别过点 A，B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲
线的表达式为 .
解得 k = 6.
∴双曲线的表达式为 .
解析：∵ x2－x1 = 4，y1－y2 =2，
∴BG = 4，AG = 2，
∴S△ABG =4×2÷2 = 4.
由反比例函数面积的不变
性可知，
S长方形ACOE = S长方形BDOF = k .
∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE +
S四边形BDOF－ S四边形FOCG+ S△ABG
= k + k －2+4=14.
巩固练习
第三部分
PART 03
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解析：作AE⊥y 轴于点 E，BF⊥x 轴于点 F.
∵P 是 AC 的中点，
∴S四边形OCPD= S四边形ACOE
= S四边形BDOF = k，
如图，已知点 A，B 在双曲线 上，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若△ABP 的面积为 6，则 k = .
24
练一练
E
F
S△ABP= S四边形BFCP，
= (S四边形BDOF－S四边形OCPD)
= (k－ k)= k = 6.
∴k = 24.
1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，
则 m 的取值范围是________.
2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (-1，12) 和点 (10，-1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1) (3)
m ＞ 2
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点，
过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，
△ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( )
O
B
A
P
x
y
A
4. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5 = －1，
m＞0，
解得 m = 2.
5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，-4).
(1) 求 k 的值；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2，-4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = -8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化
解：这个函数的图象位于第二、四象限.
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象；
O
x
y
解：如图所示：
(4) 点 B (1，-8) ，C (-3，5) 是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该表达式，而点 C 的坐标
不满足该表达式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数
的图象上.
解：该反比例函数的表达式为 .
课堂小结
第四部分
PART 04
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反比例函数
的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，
y 的值随 x 的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y 的值随 x 的增大而增大.
第六章 反比例函数 6.2.2
反比例函数
的性质
北师大版九年级上册数学课件

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