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第一章 反比例函数 1.2
反比例函数的图象与性质
湘教版（2024）九年级上册数学课件
1.2.3 反比例函数的图象与性质的综合应用
01
新课导入
03
课堂小结
02
新课讲解
04
课后作业
目录
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第一部分
PART 01
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火电厂、核电站需建造一个循环冷却水系统，在水源不十分充足的地区的电厂，大多采用循环水自然通风双曲面冷却塔.现如今冷却塔通常都在100米以上，而新造塔都超过了160米甚至出现很多超过200米的塔.
双曲线型冷却塔
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1 电站装机增大
2 需要建更大规模的冷却塔
3 冷却能力受面积和高度的直接影响，因此冷却塔要更高更大
冷却塔为什么设计成双曲线型？
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1 电站装机增大
2 需要建更大规模的冷却塔
3 冷却能力受面积和高度的直接影响，因此冷却塔要更高更大
4 高大的圆筒状结构很不稳定，即使建造出来成本也很高
不管用混凝土还是钢结构，200米高的直墙都是很不稳定的，要让它承受风阻和变形就得加厚或者加大量钢筋，最终一个塔会像摩天大楼一样，成本无法接受.我们得找一种经济的手段让冷却塔成本降低，那就是壳状曲面结构，也就是说曲率能够产生强度.
冷却塔为什么设计成双曲线型？
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双曲面经济性的原因不是因为最节省材料，而是因为其建造方式，双曲面是一种直纹曲面，是由一条直线通过连续运动构成，这是它最重要的几何性质.因此钢筋在布置时不需要弯曲,即将其平行于空间斜向直线即可.
1 电站装机增大
2 需要建更大规模的冷却塔
3 冷却能力受面积和高度的直接影响，因此冷却塔要更高更大
4 高大的圆筒状结构很不稳定，即使建造出来成本也很高
5 需要用经济的手段建造大型冷却塔
6 双曲面塔最经济
冷却塔为什么设计成双曲线型？
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1 电站装机增大
2 需要建更大规模的冷却塔
3 冷却能力受面积和高度的直接影响，因此冷却塔要更高更大
4 高大的圆筒状结构很不稳定，即使建造出来成本也很高
5 需要用经济的手段建造大型冷却塔
6 双曲面塔最经济
冷却塔为什么设计成双曲线型？
广州塔，又称“小蛮腰”，
每一根主钢梁都是直的.
新课导入
1 电站装机增大
2 需要建更大规模的冷却塔
3 冷却能力受面积和高度的直接影响，因此冷却塔要更高更大
4 高大的圆筒状结构很不稳定，即使建造出来成本也很高
5 需要用经济的手段建造大型冷却塔
6 双曲面塔最经济
冷却塔为什么设计成双曲线型？
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正比例函数与反比例函数的联系与区别
正比例函数 反比例函数
表达式
自变量取值范围
函数值取值范围
图象形状
图象位置
增减性
(k为常数，k≠0)
(k为常数，k≠0)
x≠0
全体实数
y≠0
全体实数
k＞0，一、三象限；
k＜0，二、四象限；
k＞0，一、三象限；
k＜0，二、四象限；
k＞0，y 随着 x 的增大而增大；
k＜0， y 随着 x 的增大而减小；
k＞0，每个象限 y 随着 x 的增大而减小；
k＜0，每个象限 y 随着 x 的增大而增大；
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第二部分
PART 02
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（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；
（2） 判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，函数值y 随
自变量 x 的增大如何变化？
已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
新课讲解
解 （1）因为反比例函数 的图象经过点 P（2，4），
即点P 的坐标满足这一函数表达式，
因而 ，
解得 k = 8.
因此，这个反比例函数的表达式为 .
（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；
已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
新课讲解
（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；
（2） 判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；
已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
(2) 把点A，B 的坐标分别代入 ，
可知点A 的坐标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达式，
所以点A 在这个函数的图象上，点B 不在这个函数的图象上.
√
×
新课讲解
（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；
（2） 判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，函数值y 随
自变量 x 的增大如何变化？
已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
√
×
（3） 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第 一、三象限，
在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小.
新课讲解
例 2
右图是反比例函数 的图象.根据图象，
回答下列问题：
（2）如果点A（-3， ），B（-2 ， ）是该函数图象
上的两点，试比较 ， 的大小.
（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；
解
（1） 由图可知，反比例函数 的图象的两支曲线分别位于第一、三
象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k ＞0.
√
新课讲解
例 2
右图是反比例函数 的图象.根据图象，
回答下列问题：
（2）如果点A（-3， ），B（-2 ， ）是该函数图象
上的两点，试比较 ， 的大小.
（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；
（2） 因为点A(-3， ），B（-2， ）是该图象上的两点，
且-3 ＜ 0，-2 ＜ 0，
所以点A，B 都位于第三象限.
又因为-3 ＜ -2，
由反比例函数图象的性质可知： ＞ .
√
新课讲解
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P（-3，4）是这
两个函数图象上的点， 即点P的坐标分别满足这两个表达式.
因此
解得 ，
其中k1，k2为常数，且均不为零.
设正比例函数、反比例函数的表达式分别为 ， ，
解
例 3
新课讲解
因此，这两个函数表达式分别为 和 ， 它们的图象如图所示.
P
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
例 3
新课讲解
1.已知反比例函数 的图象经过点M（-2，2）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x 的增大如何变化？
[选自教材P11 练习 第1题]
因为反比例函数 的图象经过点 ，
即点M的坐标满足这一函数表达式，
因而 ，
解得 k=-4. 因此，这个反比例函数的表达式为 .
M（-2，2）
解:(1)
课堂练习
1.已知反比例函数 的图象经过点M（-2，2）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x 的增大如何变化？
[选自教材P11 练习 第1题]
(2) 把点A，B 的坐标分别代入 ，
可知点A 的坐标满足函数表达式， 点B的坐标不满足函数表达式，
所以点A 在这个函数的图象上， 点B 不在这个函数的图象上.
√
×
课堂练习
1.已知反比例函数 的图象经过点M（-2，2）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x 的增大如何变化？
[选自教材P11 练习 第1题]
√
×
（3）因为k ＜ 0，所以这个反比例函数的图象位于第二、四象限，
在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大.
课堂练习
已知在反比例函数 的图象的每一支曲线上，函数值 y 随自变量x 的增大而增大，求 m 的取值范围. 如果点 M（-2， ），N（-4， ）是该图象上的两点，试比较函数值 ， 的大小.
2.
解:
由题意可知反比例函数 的图象位于第二、四象限，
所以 m+3<0.
所以 m<-3.
又
的图象的每一支曲线上，函数值 y
随自变量x 的增大而增大，
的自变量
M（-2，y1）和N（-4，y2）
所以
y2 < y1.
[选自教材P12 练习 第2题]
课堂练习
所以
所以
3.
正比例函数y = x的图象与反比例函数 的图象的一个交点的纵坐标为3. 求当x =-4时，反比例函数 的对应函数值.
所以
反比例函数
为
当x = - 4时，反比例函数
解：由题意可知正比例函数y = x的图象与反比例函数
的图象均过点（3 ,3），
[选自教材P12 练习 第3题]
课堂练习
课堂小结
第三部分
PART 03
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正比例函数与反比例函数的联系与区别
正比例函数 反比例函数
表达式
自变量取值范围
函数值取值范围
图象形状
图象位置
增减性
(k为常数，k≠0)
(k为常数，k≠0)
x≠0
全体实数
y≠0
全体实数
k＞0，一、三象限；
k＜0，二、四象限；
k＞0，一、三象限；
k＜0，二、四象限；
k＞0，y 随着 x 的增大而增大；
k＜0， y 随着 x 的增大而减小；
k＞0，每个象限 y 随着 x 的增大而减小；
k＜0，每个象限 y 随着 x 的增大而增大；
课堂小结
课后作业
第四部分
PART 04
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1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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