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安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，则“”是“，的夹角是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，.则该平面图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
4．在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知i为虚数单位，复数z满足|z﹣i|＝|z|，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
6．平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（ ）
A．1N B． C． D．
7．用一个圆心角为的扇形OMN（O为圆心）围成一个圆锥（点M，N恰好重合），该圆锥顶点为S，底面圆的直径为AB，则sin∠ASB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，若的最长边的长为，则最短边的长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知复数,则下列说法一定正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数，且，则
C．
D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知P在所在平面内，满足，则点P是的外心
B．长方体是平行六面体
C．已知，是夹角为的单位向量，且，，则
D．在复平面内，已知平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D对应的复数分别是，，，z，则
11．在中，，是的中点，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则外接圆的面积为
D．若，则当取得最大值时，
三、填空题
12．若复数是纯虚数，则m的值为 .
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若符合条件的三角形有2个，则整数x构成的取值集合为 .
14．在中，，，点是边上一点，且，当取得最小值时，的值为 .
四、解答题
15．已知复数满足.
(1)求；
(2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和bc的值.
16．（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）；
（2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长.
17．已知向量，.
(1)求向量在向量上的投影向量的坐标；
(2)已知，，.
①若、、三点共线，求的值；
②若，求的值.
18．如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.

(1)若是的中点，，，求实数的值；
(2)若，，求的最大值.
19．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)若，，求的面积；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.
安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C B A D A AC BCD
题号 11
答案 BC
1．D
【详解】解：，
在复平面内对应的点是，位于第四象限.
故选：D.
2．B
【详解】，的夹角是钝角，则且，不反向共线，
故且，解得且，
故“”是“，的夹角是钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
3．A
【详解】根据题意，直观图为直角梯形，
且，，
其面积，
故原图的面积.
故选：A.
4．C
【详解】由D是边BC的中点，，
则，
，则，，所以.
故选：C
5．B
【详解】解：设复数，
因为，
所以，
即，
即，
得，
所以复数的虚部为.
故选：B．
6．A
【详解】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，则，
，，与的夹角为150°，
故.
故选：A.
7．D
【详解】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则，解得，
所以在圆锥的轴截面 中，
，
由余弦定理得cos∠ASB＝，
所以sin∠ASB＝.
故选：D.
8．A
【详解】解：在中，的最长边的长为，
设内角的对边分别为，由题意得，
，
因为
故，故，
又，，
解得，同理可得，
由正弦定理得，即，解得，
则最短边的长为.
故选：A.
9．AC
【详解】对于A，设 ，若复数 ，即 ，则，故A正确；
对于B， ，解得，故B错误；
对于C，设 ，，则，，
所以，
，故C正确；
对于D，当 ，时，，故D错误.
故选：AC.
10．BCD
【详解】对于A，记BC的中点为D，因为，所以，
所以P，A，D三点共线，故点P在中线AD上，同理点P也在的另外两条中线上，则点P是的重心，故A错误；
对于B，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，则长方体是平行六面体，故B正确；
对于C，，是夹角为的单位向量，则，
，，则，
故，故C正确；
对于D，由复数的几何意义得，则，
设，则，
由四边形ABCD为平行四边形，得，即，解得，
故点D对应的复数为，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【详解】对于A，若，且是的中点，则，
则，因为，则，故A错误；
对于B，，由正弦定理.
所以，因为，所以，
设，，所以，
得，
所以，所以，故B正确；
对于C，在，，.则，，
所以，，
则外接圆的半径为面积为，故C正确；
对于D，由，，可得，
设，由，则，在中，，在，，
所以
则，
当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：BC.
12．
【详解】，
令且，解得.
故答案为：.
13．
【详解】当时，符合条件的三角形有2个，
所以，解得，则整数x构成的集合为.
故答案为：.
14．
【详解】解：由余弦定理得，，
即，
解得（ 舍去），
因为点是边上一点，且，
所以，
所以，
所以，
所以当时，取最小值.
故答案为：.
15．(1)
(2)，
【详解】（1）设，
因为，则，
故，解得，
故；
（2）因为是实系数一元二次方程的一个根，
则也为实系数一元二次方程的一个根，
故，解得，
故.
16．（1）；（2）
【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示，
连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离，
因为，
所以 ，
所以蚂蚁爬行的最短路线长为；
（2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法，
①如图1，以DC为轴展开，
此时，
②如图2.以BC为轴展开，
此时，，
③如图3、以 BB1为轴展开，
此时，
综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 .
17．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为；
（2）因为，
，
①若、、三点共线，则，
所以，解得；
②若，则，
即，解得．
18．(1)
(2)1
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，

则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（2）因为三点共线，且，
所以，
设正方形的边长为1，，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的故大值为1.
19．(1)或
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，所以或，
由，及正弦定理得，
即，
又，
所以，
因为，所以，即，
因为0＜C＜π，所以，所以，所以，
当时，，，由，得，，
则的面积为，
当时， 由得，，
则的面积为，
综上，的面积为或；
（2）因为是锐角三角形，，
所以，由上分析可知，
则，，
由正弦定理，
，
因为为锐角三角形，，，
则，，，
解得，则，
设，可得上单调函递增，
故，
即的取值范围是.

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