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第五章特殊平行四边形章节期末复习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，点H为射线BA延长线上一点，连接OH交AD于点E，若AH＝1，则OH的长度为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A．2.4 B．2.5 C． D．2
3．如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A、D分别在直线b、a上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
A．41° B．51° C．49° D．59°
4．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
5．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于点G，给出四个结论：①AB2+BF2＝2AP2；②BF+DE＝EF；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
6．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．3
二、填空题
7．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠CBD，CF⊥BE，分别交BD，BE于点G，H．若AB＝6，BC＝8，则GH的长为 　 　 ．
8．已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，若∠EAF＝45°．那么的最小值为　 　 ．
9．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝2，CE＝4，点P在边GF上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，点N是AC的中点，M是PQ的中点，则MN的长为　 　 ．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，E是边AB上一点，点B关于CE的对称点为F，连接BF并延长交AD于点G．设BE＝a．若F是BG的中点，则a的值为　 　 ．
11．已知正方形ABCD中，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A1，C1，D1．设m＝AA1+CC1+DD1，若AB＝1，则m的最小值为　 　 ．
三、解答题
12.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O、E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC．
13．在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接EC．
（1）如图1，若∠DCE＝45°，BC＝CE，CD＝1，求BD；
（2）如图2，CF⊥EC，CF＝CD，连接BF交EC于H，当H为BF的中点时，求证：DE＝2HC．
14．在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，连接EF．CE，DF相交于点O，ED＝EF，OE＝OC．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若 ABCD的周长为22，BF＝1，∠ABC＝60°，求CE的长．
15．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
17．如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，，直接写出BE的长．
18．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）求证：CF＝CP；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP﹣BM＝2FN．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：选：D．
2．【解答】解：连接CH，并延长交AD于点K，连接EK，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴∠DKC＝∠FCK，
∵H是FD的中点，
∴FH＝DH，
在△DKH和△FCH中，
，
∴△DKH≌△FCH（AAS），
∴DK＝FC，KH＝CH，
∵G是EC的中点，
∴GH为△CEK的中位线，
∴GHEK，
∵F是BC的中点，
∴FC＝DKBCAD，
∴AKAD＝2．
∵点E是边AB的中点，
∴AEAB＝2，
∴EK4，
∴GH＝2．
故选：D．
3．【解答】解：∵直线a∥b，矩形ABCD的顶点A、D分别在直线b、a上，∠2＝41°，
∴∠1＝∠2＝41°，
故选：A．
4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4，
∴AB＝BC5，
∵AC BD＝BC AE，
∴6×8＝5AE，
∴AE＝4.8，
故选：C．
5．【解答】解：选：C．
6．【解答】解：连接AP，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA＝∠PFA＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，
∵△ABC的面积＝BC AP＝AB AC，
∴BC AP＝AB AC，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝，
∴AP＝EF＝，
∴EF的最小值为，
故选：C．
二、填空题
7．【解答】解：连接GE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝8，∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD10，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBH＝∠GBH，
∵CF⊥BE，
∴∠BHC＝∠BHG＝90°，
在△BHC和△BHG中，
，
∴△BHC≌△BHG（ASA），
∴BC＝BG＝8，
∴GD＝BD﹣BG＝10﹣8＝2，
在△BCE和△BGE中，
，
△BCE≌△BGE（SAS），
∴EC＝EG，∠BCD＝∠BGE＝90°，
即EG⊥BD，
设EG＝a，则EC＝EG＝a，
∴DE＝CD﹣EC＝6﹣a，
在Rt△GDE中，由勾股定理得：GD2+EG2＝DE2，
∴22+a2＝（6﹣a）2，
解得：，
∴EG，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：BE，
由三角形的面积公式得：S△BGEBE GHBG EG，
∴BE GH＝BG EG，
∴，
∴GH．
故答案为：．
8．【解答】解：如图，延长CB至点G使BG＝DF，连接AG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABG＝90°．
又∵DF＝BG，
∴△ADF≌△ABG（ASA）．
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG．
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°．
∴∠BAG+∠BAE＝45°，即∠EAG＝45°．
∴∠EAF＝∠EAG．
∴△EAF≌△GAF（SAS）．
∴EF＝GF．
设AB＝1，BE＝a，DF＝b，
∴EF＝a+b．
在Rt△ECF中，EC2+CF2＝EF2，
∴（a+b）2＝（1﹣b）2+（1﹣a）2．
∴a+b+ab﹣1＝0．
令mEF＝a+b，
∴b＝m﹣a．
∴m+a（m﹣a）﹣1＝0．
∴a2﹣ma﹣m+1＝0．
∵BE存在，
∴a有实数解．
∴Δ≥0．
∴Δ＝m2﹣4（﹣m+1）＝m2+4m﹣4＝（m+2）2﹣8≥0．
∵m＞0，
∴m≥22．
∴的最小值为22．
故答案为：22．
9．【解答】解：如图，连接CM，FM，
∵四边形CEFG是矩形，
∴CE∥FG，
∴∠FPM＝∠CQM，
∵PF＝CQ，∠FPM＝∠CQM，PM＝QM，
∴△FPM≌△CQM（SAS），
∴∠PMF＝∠QMC，FM＝CM，
∴P、M、Q三点共线，M为CF的中点，
如图，连接DM并延长交EF于H，连接BD、BH，
∵矩形ABCD和矩形CEFG，
∴CD＝AB＝1CG，D为CG的中点，N为BD的中点，
∴DM是△CFG的中位线，
∴DM∥GF，DMGF，
∴四边形DGFH是矩形，
∴DMGFDH，M为DH的中点，
∴MN为△BDH的中位线，
∴MNBH，
∵BE＝BC+CE＝6，EH＝1，
由勾股定理得，BH，
∴MN，
故答案为：．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠GAB＝∠EBC＝90°，
∴∠ABG+∠AGB＝90°，
由对称的性质得，∠ABG+∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠AGB，
∴△GAB∽△EBC，
∴，即，
∴AGa，
如图，过点F作FM⊥AB于点M，则∠EMF＝90°，
∵点F是BG的中点，HF⊥AD于点H，
∴四边形AHFM是矩形，AHAGa，HFAB＝2，
∴AM＝HF＝2，MF＝AHa，
∴ME＝2﹣a，
由对称得，EB＝EF＝a，
在Rt△MEF中，EM2+FM2＝EF2，
∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，
解得：a或a（舍），
故答案为：．
11．【解答】解：连接BD，PC，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
由勾股定理得：，
∵AB＝1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，m＝AA1+CC1+DD1有最小值，
故答案为：．
三、解答题
12．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AO＝CO，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△CEO中，
，
∴△AOF≌△CEO（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFE＝∠CEF，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴AB⊥AC．
13．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴ED＝CD＝1，
∴BC＝CECD，
∴BD，
∴BD的长是．
（2）证明：如图2，作DP⊥CE于点P，则∠CDE＝∠BPC＝90°，
∵CF⊥EC，
∴∠FCH＝∠BPH＝90°，
∵AD∥CB，
∴∠DEC＝∠PCB，
∵H为BF的中点，
∴FH＝BH，
在△CHF和△PHB中，
，
∴△CHF≌△PHB（AAS），
∴CF＝PB，HC＝HP，
∴PC＝2HC，
∵CF＝CD，
∴CD＝PB，
在△DEC和△PCB中，
，
∴△DEC≌△PCB（AAS），
∴DE＝PC，
∴DE＝2HC．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ED∥FC，
∴∠EDO＝∠CFO，
又∵OC＝OE，
∵∠EOD＝∠COF，
∴△EOD≌△COF（AAS），
∴ED＝FC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
又∵ED＝EF，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形CDEF是菱形，
∴AD＝BC，ED＝FC，FC＝FE，
∴AD﹣ED＝BC﹣FC，
∴AE＝BF＝1，
∵ ABCD的周长为22，
∴，
又∵∠ABC＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE＝EF＝5．
15．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，
∴AE2，
即AE的长为2．
16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
答：MD长为5．
17．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形，
∴AB＝BC，AE＝GF，∠E＝∠F＝∠ABC＝90°．
又∵∠EBA+∠FBC＝∠BCF+∠FBC＝90°，
∴∠EBA＝∠BCF．
∴△AEB≌△BFC（AAS）．
∴AE＝BF．
∴GF＝BF．
∴∠FBG＝∠BGF＝45°；
（2）证明：如图1，分别延长AG与BC交于点P．
∵∠PGC＝∠BFC＝90°，CG＝FC，∠PCG＝∠BCF，
∴△PCG≌△BCF，
∴PC＝BC．
∵AD＝BC，
∴AD＝PC．
又∵∠ADH＝∠PCH＝90°，∠AHD＝∠PHC，
∴△ADH≌△PCH（AAS）．
∴DH＝CH．
（3）解：过点C作CM⊥FG于点M，作CN⊥EF于点N，连CG，
则四边形CMFN为矩形，
由（1）可得△AEB≌△BNC，
∴BN＝AE＝2，CN＝BE，
设：CN＝BE＝x
则：CM＝FN＝|2﹣3+x|＝|x﹣1|，FM＝CN＝x，
∴GM＝|2﹣x|
在Rt△GMC中，
GC2＝MC2+MG2＝（x﹣1）2+（2﹣x）2＝2，
解得：或．
∴或．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵CP⊥CF，
∴∠FCP＝90°＝∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCP，
∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，
∴△CDP≌△CBF（ASA），
∴CF＝CP；
（2）∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，
∴∠BFC＝67.5°，
∵△CDP≌△CBF，
∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，
∴∠ACP＝∠P＝67.5°，
∴AC＝AP，
∵ACAB＝4，
∴S△ACPAP×CD＝8；
（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，
∵△CDP≌△CBF，
∴CP＝CF，
∵FN＝NH，且BN⊥FH，
∴BH＝BF，
∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，
∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，
∴∠HBC＝∠BAM＝45°，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，
∴△AMB≌△BHC（ASA），
∴CH＝BM，
∴CF＝BM+2FN，
∴CP﹣BM＝2FN．
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