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选择性必修三归纳总结
考点一 排列组合
【例1-1】（24-25高二下·全国·开学考试）某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（ ）
A．48 B．96 C．128 D．186
【例1-2】（24-25 湖南 ）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．288种 B．296种 C．362种 D．384种
【例1-3】（24-25高二上·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例1-4】（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（ ）个不同密码．
A．240 B．180 C．120 D．72
【例1-5】（24-25高二上·江西九江·期末）“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得广大市民游客争相打卡．为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点，主管单位向我市征集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红点，则电音舞台恰好安排两人的方法有 种．
考点二 二项式定理
【例2-1】（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B．252 C． D．28
【例2-2】（2024·河北）（多选）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（ ）
A．展开式的常数项为
B．
C．展开式中系数最大的项的系数为80
D．所有幂指数为非负数的项的系数和为
【例2-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）（多选）已知，则（ ）
A．展开式中所有项的系数和为
B．展开式中二项系数最大项为第1010项
C．
D．
【例2-4】（2024·江西）（多选）在的展开式中（ ）
A．二项式系数之和为 B．第项的系数最大
C．所有项系数之和为 D．不含常数项
考点三 分布列与数学期望
【例3-1】（24-25 ·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件B相互独立 B．
C． D．
【例3-4】（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则
A．
B．
C．
D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人
【例3-5】（24-25高二上·江西赣州·期末）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰.
(1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望；
(2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率.
【例3-6】（2024·甘肃张掖 ）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的居民 40 10 50
年龄超过45岁的居民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)试根据的独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系．
(2)居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为；如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为，求小张周二选择在平台买菜的概率.
(3)用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量，并记随机变量，求X，Y的数学期望和方差．
参考公式及数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【例3-7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）根据中华人民共和国国家标准（GB 2890-2009），级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布.
(1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%.他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”.
①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了1000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记为这1000件产品中“优质品”的件数，当为多少件时可能性最大（即概率最大）？
参考数据：，， .
考点四 统计案例
【例4-1】（24-25 云南普洱·阶段练习）近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程．相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数单位：百次与锂离子电池性能指数的回归模型，通过实验得到部分数据如下表：
充放电循环次数x 3 4 5 6
电池性能指数y 91 88 82 79
由上表中的数据求得回归方程为，则计算可得（ ）（参考公式及数据：，）
A． B． C． D．
【例4-2】（24-2天津河东·期中）第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（ ）
时间 1 2 3 4 5
销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量与负相关
B．当时，残差为0.2
C．可以预测当时销量约为2.1万只
D．线性回归方程中
【例4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知与之间的几组数据如表：
1 2 3 4 5 6
0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得回归直线方程为．若某同学根据上表中的前两组数据和求得的回归直线方程为，则以下结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例4-4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，由观测数据 的散点图可知， 与的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于的回归方程 . 已知 ，，则 （ ）

A． B． C．1 D．
【例4-5】（24-25高二上·江西宜春·期末）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6
收益（单位：元） 165 142 148 125 150
(1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：
(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率.
【例4-6】（24-25高二上·广西梧州·期末）某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的.
单次消费超过100元 单次消费不超过100元 合计
女性
男性
合计
(1)根据所给数据完成列联表，是否有的把握认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联？
(2)在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：（其中.
参考数据：
0.050 0.025 0.01
3.841 5.024 6.635
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选择性必修三归纳总结
考点一 排列组合
【例1-1】（24-25高二下·全国·开学考试）某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（ ）
A．48 B．96 C．128 D．186
【答案】B
【解析】先安排甲、乙，若甲坐1号座位，则乙可以坐4号或6号座位；
若甲坐3号座位，则乙可以坐6号座位；
若甲坐5号座位，则乙可以坐2号座位，共有4种安排方法．
在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有种，
故这六人不同的座位安排方法种数为．
故选：B．
【例1-2】（24-25 湖南 ）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．288种 B．296种 C．362种 D．384种
【答案】D
【解析】首先三个区域有种涂法，
当2号区域和6号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法，
综上，共有384种涂法.
故选：D.
【例1-3】（24-25高二上·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】三个数字和为6的情况有：222,114,123，
对于3个2的排列只有1个；
对于1，1，4的排列由个，
对于1，2，3的排列有个，
所以这样的三位数有10个，
故选：C
【例1-4】（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（ ）个不同密码．
A．240 B．180 C．120 D．72
【答案】B
【解析】6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8，
故所组成的六位数密码有种情况，
故选：C
【例1-5】（24-25高二上·江西九江·期末）“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得广大市民游客争相打卡．为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点，主管单位向我市征集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红点，则电音舞台恰好安排两人的方法有 种．
【答案】60
【解析】第1步：电音舞台先安排2人有种方法；
第2步：将剩余3人分给其余的3个网红点，有种方法．
故电音舞台恰好安排两人的方法有种．
故答案为：60
考点二 二项式定理
【例2-1】（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B．252 C． D．28
【答案】B
【解析】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，
展开式中的系数为，
故选：B
【例2-2】（2024·河北）（多选）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（ ）
A．展开式的常数项为
B．
C．展开式中系数最大的项的系数为80
D．所有幂指数为非负数的项的系数和为
【答案】ACD
【解析】令，得，解得，B错误；
因为的展开式的通项公式为，
可得，
则，则有：
展开式的常数项为，A正确；
展开式中系数最大的项的系数为80，C正确；
所有幂指数为非负数的项的系数和为，D正确．
故选：ACD.
【例2-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）（多选）已知，则（ ）
A．展开式中所有项的系数和为
B．展开式中二项系数最大项为第1010项
C．
D．
【答案】AC
【解析】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对.
展开式中第项二项式系数，
，则，∴.
展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错.
，
令，则，令，则，
∴，C对.
展开式中通项公式，
可知奇次幂系数为负，偶次幂系数为正，
所以，
由，
令可得：，又，
所以，错
故选：AC
【例2-4】（2024·江西）（多选）在的展开式中（ ）
A．二项式系数之和为 B．第项的系数最大
C．所有项系数之和为 D．不含常数项
【答案】ABD
【解析】由于二项式系数之和为，故A正确．
设展开式第项为，
易知的系数均小于0，且，故第项的系数最大，为80，故B正确,
令得所有项系数之和为，故C错误，
当，则，但，故展开式不含常数项，D正确．
故选：ABD．
考点三 分布列与数学期望
【例3-1】（24-25 ·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.
所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
故此时概率为：.
故选：A
【例3-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”，
由题意，，
则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为.
由全概率公式，，
代入数值可得：
解得：
故选：C.
【例3-3】（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件B相互独立 B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】根据，可得；
又，可得；
即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确；
易知，因此B正确；
由可得，即可知C正确；
计算可得，所以，即D错误.
故选：ABC.
【例3-4】（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则
A．
B．
C．
D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人
【答案】ABD
【解析】依题意，服从正态分布，
所以，A选项正确.
随机变量，所以，
所以，B选项正确.
，所以C选项错误.
，
估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确.
故选：ABD
【例3-5】（24-25高二上·江西赣州·期末）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰.
(1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望；
(2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
该选手初赛中答对题目数量的期望.
（2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种情况：
得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到），
得分（抢到次且答对次），
设甲每轮抢到题目且答对为事件，
抢到题目且答错的概率为事件，，
没抢到题目为事件，
得分的概率，
得分的概率，
得分的概率，
甲在决赛中总得分大于分的概率
【例3-6】（2024·甘肃张掖 ）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的居民 40 10 50
年龄超过45岁的居民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)试根据的独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系．
(2)居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为；如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为，求小张周二选择在平台买菜的概率.
(3)用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量，并记随机变量，求X，Y的数学期望和方差．
参考公式及数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05
(2)
(3)的数学期望，方差，的数学期望，方差
【解析】（1）统计假设：该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄无关系，
由给定的2×2列联表，得
根据小概率值的独立性检验，否定假设，
即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（2）设表示周在平台买菜，表示周在平台买菜，.
由题可得．
由全概率公式，小张周二选择在平台买菜的概率
；
（3）依题意，该社区居民喜欢网上买菜的概率估计值为.
从该社区随机抽取10名居民，其中喜欢网上买菜的居民人数，
所以的数学期望，方差.
又，所以的数学期望，方差.
【例3-7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）根据中华人民共和国国家标准（GB 2890-2009），级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布.
(1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%.他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”.
①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了1000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记为这1000件产品中“优质品”的件数，当为多少件时可能性最大（即概率最大）？
参考数据：，， .
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②
【解析】（1）由已知过滤件的滤烟效率服从正态分布，，则，
由原则可知，生产的产品中滤烟效率在以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产.
（2）①令为“综合过滤件滤烟效率”，则一件过滤件为“优质品”的概率为
；
②依题意得，记，
要使可能性最大，
则需，
即，所以，即，
所以，
所以当为978件时可能性最大.
考点四 统计案例
【例4-1】（24-25 云南普洱·阶段练习）近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程．相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数单位：百次与锂离子电池性能指数的回归模型，通过实验得到部分数据如下表：
充放电循环次数x 3 4 5 6
电池性能指数y 91 88 82 79
由上表中的数据求得回归方程为，则计算可得（ ）（参考公式及数据：，）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，
且，，
故
故选：D.
【例4-2】（24-2天津河东·期中）第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（ ）
时间 1 2 3 4 5
销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量与负相关
B．当时，残差为0.2
C．可以预测当时销量约为2.1万只
D．线性回归方程中
【答案】B
【解析】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，
故正确，A不符合题意；
对于选项B，由表中数据知，，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，
所以线性回归方程为，
所以，残差，故错误，B符合题意；
对于选项C，当时销量约为（万只），故正确，C不符合题意；
对于选项D，由B选项可知，故正确，D不符合题意.
故选：B.
【例4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知与之间的几组数据如表：
1 2 3 4 5 6
0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得回归直线方程为．若某同学根据上表中的前两组数据和求得的回归直线方程为，则以下结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】因为，，
故，，
而
故，．
故选：C.
【例4-4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，由观测数据 的散点图可知， 与的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于的回归方程 . 已知 ，，则 （ ）

A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由可得： ,
由可得：,
由回归方程 必过样本中心点，即过点，
所以，解得.
故选：D.
【例4-5】（24-25高二上·江西宜春·期末）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6
收益（单位：元） 165 142 148 125 150
(1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：
(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率.
【答案】(1)，186元.
(2)
【解析】（1）依题意可得，
，
，
当时，（元），
即每天售出8箱水的预计收益是186元.
（2）设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”，
则，，所以，
即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为.
【例4-6】（24-25高二上·广西梧州·期末）某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的.
单次消费超过100元 单次消费不超过100元 合计
女性
男性
合计
(1)根据所给数据完成列联表，是否有的把握认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联？
(2)在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：（其中.
参考数据：
0.050 0.025 0.01
3.841 5.024 6.635
【答案】(1)表格见解析，有把握
(2)分布列见解析，
【解析】（1）根据题意可知，男性顾客30人，女性顾客40人；
男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的，即10人，超过100元的有20人，
又单次消费超过100元的占抽取总人数的，即共35人，所以单次消费超过100元的女性顾客为15人；
可得如下2×2列联表：
单次消费超过100元 单次消费不超过100元 合计
女性 15 25 40
男性 20 10 30
合计 35 35 70
零假设：顾客的单次消费是否超过100元与性别无关联，
由列联表中的数据，计算得
故依据小概率值的独立性检验，能认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联.故有的把握认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，
女性有人，男性有4人，
所以X的可能取值为，
则.
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
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