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统编2024七下数学同步精品课件
人教版七年级下册
2025年春七下数学情景教学课件（统编2024版）
第十章 二元一次方程组
第十章 二元一次方程组
章起始课
10.1 二元一次方程组的概念
在解决一些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形.看下面的问题.
新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成2 hm 棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
在这个问题中，要求的是两个未知数，如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢 我们从这个想法出发开始本章的学习.
在本章中，我们将从实际问题出发，认识二元一次方程组，学习解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题.在此基础上，学习三元一次方程组及其解法.通过本章的学习，你将对方程(组)有新的认识.
本章知识结构图
实际问题
实际问题的答案
解方程组
数学问题
(二元或三元一次方程组)
设未知数，列方程组
数学问题的解
(二元或三元一次方程组的解)
代入法
加减法
(消元)
检验
人教七下
教材前后关联
人教七上
一元一次方程与一次方程组的关系：一元一次方程是学习一次方程组的基础，解二元一次方程的思想是：消元化为一元一次方程求解.
教材前后关联
人教七下
人教八下
二元一次方程组与一次函数的关系：学完一次函数以后，会学到另外一种求解方程组的方法——图象法.二元一次方程组的解就是对应的两条直线交点的横纵坐标.
本章在中考中主要考查以下内容：
①解二元一次方程组；
②根据二元一次方程(组)的解，求字母值或代数式的值；
③二元一次方程组的实际应用，或结合不等式、一次函数等知识考查，涉及配套问题、几何图形问题、购买销售问题、行程问题、工程问题等.
中考考查情况
1. 了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的有关概念.
2. 会列二元一次方程组，并检验一组数是否为二元一次方程组的解.
学习目标
新课引入
什么叫做方程？
含有未知数的等式叫做方程.
只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
什么是一元一次方程？
问题 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm 棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm 棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
你能解决这个题吗？
解：设租用了大型采棉机x台，则租用小型采棉机（6-x）台.
根据题意，得 2x + (6 - x)×1 = 8.
解方程，得 x = 2，
则 6 -2 =4.
答：这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.
能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢 这就是我们本节课要学习的内容！
新知学习
问题1 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2 hm 棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
思考1 问题1包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机.你能用方程把这些相等关系表示出来吗？
等量关系：大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数，
大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积.
这两个相等关系可以分别用方程表示为：
x+y=6 ①
2x+y=8 ②
两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，且含有未知数的式子都是整式.含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.
观察 上面的两个方程有什么特点 它们与一元一次方程有什么不同？
x + y = 6 ①
2 x + y = 8 ②
在这个问题中，x和y代表的含义相同；两个未知数x、y必须同时满足方程x+y=6和2x+y=8，因此，把这两个方程合在一起，并写成
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
思考2 两个式子中，x和y代表的含义相同吗？
例1 判断下列方程组是否为二元一次方程组：
(1) (2)
(3) (4)
(5)
二元一次方程组满足的条件:
(1)两个方程均为整式方程；
(2)方程组中共含有两个未知数；
(3)含未知数的项的次数都是1次.
×
√
×
×
√
探究 满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中.
x
y
1
5
2
4
3
3
4
2
5
1
如果不考虑方程x+y=6与上面实际问题的联系，那么x=-1,y=7;x=0.1,y=5.9;...也都是这个方程的解.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
思考3 x=2，y=4满足方程组 吗？为什么？
解：将x=2，y=4代入方程①中，左边=x+y=2+4=6，满足方程①；
将x=2，y=4代入方程②中，左边=2x+y=2×2+4=8，满足方程②；
∴x=2，y=4既满足方程①，也满足方程②，
也就是说x=2，y=4是方程①与方程②的公共解.
我们就把x=2，y=4叫作二元一次方程组
的解，这个解通常记作
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
每个二元一次方程有无数组解，而二元一次方程组的解只有一组.
　
1. 未知数的值必须同时满足两个方程，即代入方程后等式要成立；
2. 二元一次方程组的解是一对数.
例2 下列几对数值中，是二元一次方程组 的解的是 ( )
A. B.
C. D.
D
变式练习 已知二元一次方程3x+ay=8.
解：(1)将 代入二元一次方程3x+ay=8中得
3×1+5a=8，
解得 a=1.
(2)写出(1)中二元一次方程3x+ay=8的两组解；
(2)
(1)若它的一组解为 ，求a的值；
(3)若二元一次方程组 的解为 ，求代数式b2-a的值.
解：(3)将 代入二元一次方程3x+ay=8中得,
3×3-a=8，解得a=1.
将 代入二元一次方程-2x+by=-4中得,
-2×3-b=-4，解得b=-2.
所以b2-a=(-2)2-1=3.
例3 某校现有校舍2000 m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%. 若新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，则应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？(不必求解)
分析：本题的等量关系：
① 剩余旧校舍面积 + 新校舍面积 = (1 + 30%)×校舍总面积；
② 新校舍面积 = 4×拆除的旧校舍面积.
解：设应拆除旧校舍 x m2，建造的新校舍面积为 y m2，根据题意得
1.下列方程组中，二元一次方程组有 ( )
① ；② ；③ ；④ .
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
随堂练习
C
2. (2024 湖北)《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊共值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为( )
A. B.
C. D.
A
3.下列几对数值中，是二元一次方程组 的解的是 ( )
A. B.
C. D.
B
4.请写出二元一次方程3x+y=8的一组正整数解_________________.
5.端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节日，许多国家和地区都有庆贺端午节的活动．临近端午节，某公司准备购买A，B两种礼盒给员工发放，已知购买2件A种礼盒与5件B种礼盒共需200元，购买1件A种礼盒比购买1件B种礼盒少花5元．设A种礼盒的单价为x元，B种礼盒的单价为y元，则可列方程组为________
6. 是否存在 m 值，使方程 (|m| - 2)x2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5 是关于 x，y 的二元一次方程？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
解：方程 (|m| - 2)x2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5 是关于 x，y 的二元一次方程，则
|m| - 2 = 0，m + 2 ≠ 0，m + 1 ≠ 0，
解得 m = 2.
故当 m = 2 时，方程 (|m| - 2)x2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5 是关于 x，y 的二元一次方程.
课堂小结
二元一次方
程组的概念
两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，且含有未知数的式子都是整式.含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
二元一次方程的解
二元一次方程
有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫作二元一次方程组.
二元一次方程组
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
二元一次方程组的解
谢谢
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