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统编2024七下数学同步精品课件
人教版七年级下册
2025年春七下数学情景教学课件（统编2024版）
第十章 二元一次方程组
10.2.1.1 直接代入消元
主题情境·破解“张小丽”的游玩之谜
1．会用代入消元法解较简单的二元一次方程组．
2．理解二元一次方程组的思路是“消元”，经历并体会化归的思想．
学习目标
情境学新知
国庆假期后，李华和张小丽交流了他们假期的旅行经历.聪明的小丽用数学题的形式介绍了全家的旅行经历，一起去看看吧！
小丽，国庆节你去哪
玩了？
跟着我一起往下看，就知道了！
问题1 途中有一段盘山公路，其中上坡路程是下坡路程的2倍，行驶完全程共用 5分钟. 已知汽车上坡时的平均速度是 30 千米/时，下坡时的平均速度是 60千米/时.问这段盘山公路上、下坡各多少千米？
方法一 分析：设下坡段为x千米，上坡段为2x千米.
基本关系：路程=速度×时间
等量关系：全程用时=上坡用时+下坡用时
列一元一次方程：
答：上坡路程为1千米，
下坡路程为2千米.
方法二 分析：设下坡段为x千米，上坡段为y千米.
路程(千米) 速度(千米/时) 时间(小时)
上坡
下坡
等量关系：
上坡路程=2×下坡路程
全程用时=上坡用时+下坡用时
y
x
30
60
基本关系：路程=速度×时间
可列方程组：
如何解这个方程组呢？
如果能把二元一次方程组转化为一元一次方程就可以解决了！那么怎样由列出的二元一次方程组得到一元一次方程呢
分析：由于两个方程中的y都表示上坡路程，所以可以通过等量代换.把第二个方程 中的y换为2x.这个方程就化为一元一次方程 .解这个一元一次方程，得x=1.把x=1代入y=2x，得y=2，从而得到这个方程组的解.
解：设下坡段为 x 千米，下坡段为y 千米 .
根据题意，可列方程组为
把①代入②，得
解所得的一元一次方程组③，得x=1.
把x=1代入①，得y=2.
所以
答：上坡段为1千米，下坡段为2千米.
通过“代入”，“消去”了y，得到了一元一次方程，就可以解了！
消元思想：
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.
1．两个不同未知数的代数式为什么能替换？
代表了同一个量
二元一次方程组 一元一次方程
消元
2．代入前后的方程组发生了怎样的变化 (代入的作用)
化归思想
思考
代入消元法：
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
原计划要去美术馆，临时改成东湖公园游玩.已知
美术馆再走1km，刚好是距离东湖公园的两倍!
而且我家距离美术馆比东湖公园还远2km.
问题2：听完张小丽的描述，你能猜出美术馆和东湖公园离张小丽家的距离吗？（尝试用代入消元法解方程组）
分析：设张小丽家距离美术馆x km，距离东湖公园y km.
等量关系：
到美术馆的距离+1km=2×到东湖公园的距离
到美术馆的距离-到东湖公园的距离=2km
解：设张小丽家距离美术馆x km，距离东湖公园y km .
根据题意，可列方程组为
由②，得
把③代入①，得
解得，y=3.
把y=3代入③，得x=5.
所以
答：张小丽家距离美术馆5 km，距离东湖公园3 km .
思考2 观察上述解方程组的过程，你能总结出求解的一般步骤吗？
步骤 具体做法 注意事项 示例
代入
变形
求解
回代
写解
用含一个未知数的式子表示另一个未知数，变形为y=ax+b(或x=ay+b)的形式
选系数较为简单的变形
把y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个没有变形的方程中，得到一元一次方程
代入时要注意添括号
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值
去括号时不要漏乘，移项时要变号
一般代入变形后的方程中
将求得的未知数的值代入其中一个方程中
用“{”将x,y的值联立起来
变形
代入
求解
回代
写解
我们9个人游玩东湖公园，买门票花了46元.
成人票6元/张，儿童票4元/张.
问题3：张小丽家一共有几个成人，几个儿童
分析：设张小丽家有x 个成人，y 个儿童.
等量关系：
成人人数+儿童人数=9
成人票款+儿童票款=46
基本关系：总价=单价×数量
方法一 解：设张小丽家有x 个成人，y 个儿童 .
根据题意，可列方程组为
由①，得
把③代入②，得
解得， x=5.
把 x=5代入③，得y=4.
所以
答：张小丽家有5个成人，4个儿童 .
消去y，该怎么做呢？
方法二 解：设张小丽家有x 个成人，y 个儿童 .
根据题意，可列方程组为
由①，得
把③代入②，得
解得， y=4.
把 y=4代入③，得 x=5.
所以
答：张小丽家有5个成人，4个儿童 .
思考 如果将方程组 中的方程②变形，你会做吗？尝试完成，说说你发现了什么？
发现：变形方程②时，x或y的系数会变成分数，代入方程①后计算量较大，容易出错，所以变形方程①会更简单.
因此，对于二元一次方程组，优先选择未知数系数为1或-1的方程变形，再代入.
问题4 途中经过一家水果店，了解到购买2kg苹果和3kg梨花费26元；买2kg梨刚好比买1kg苹果多花费1元.
分析：设苹果单价为x 元/kg，梨单价为y 元/kg.
等量关系：
2kg苹果的金额+3kg梨的金额 =26
2kg梨的金额-1kg苹果的金额 =1
基本关系：总价=单价×数量
变形哪个方程更简单呢？
方程②，因为方程②有一个未知数系数为-1，变形比较简单.
解：设苹果的单价为x 元/kg，梨的单价为y 元/kg .
根据题意，可列方程组为
由②，得
把③代入①，得
解得， y=4.
把 y=4代入③，得x=7.
所以
答：苹果的单价为7 元/kg，梨的单价为4元/kg .
这里是先消去x，得到关于y的一元一次方程，如果先消去y呢？试一试.
随堂练习
1. 用代入法解方程组 时，用 ① 代入 ② 得 ( )
A. 2 - x(x - 7) = 1
B. 2x - 1 - 7 = 1
C. 2x - 3(x - 7) = 1
D. 2x - 3x - 7 = 1
y = x - 7， ①
2x - 3y = 1 ②
C
2. 小明解二元一次方程组 时写出了四种解法，其中最合适的解法是 ( )
A. 由 ① 得 ，代入 ②
B. 由 ① 得 ，代入 ②
C. 由 ② 得 ，代入 ①
D. 由 ② 得 ，代入 ①
3x - 4y = 5 ①
x - 2y = 3 ②
D
3. 用代入法解下列方程组：
y = 2x - 3，
3x + 2y = 8.
(1)
①
②
解：将 ① 代入 ② 得：
3x + 2(2x - 3) = 8
3x + 4x - 6 = 8
7x = 14
x = 2
将 x = 2 代入 ① 得
y = 2×2 - 3 = 1
∴原方程组的解是
y = 1.
x = 2.
x + y = 5，
2x + 3y = 11.
(2)
3. 用代入法解下列方程组：
①
②
解：由 ① 得，x = 5 - y ③
将 ③ 代入 ② 得：
2(5 - y) + 3y = 11
10 - 2y + 3y = 11
y = 1
将 y = 1 代入③得
x = 5 - 1 = 4
∴原方程组的解是
y = 1.
x = 4.
4. 用代入法解下列方程组：
3x + 2(x - y) = 8，
2x - (x - y) = -4.
方法一：
解：原方程组化简，得
5x - 2y = 8
x + y = -4
①
②
由 ④ 得 y = -x - 4 ⑤
代入 ③ 得
5x - 2( -x - 4 ) = 8
5x + 2x +8 = 8
x = 0
将 x = 0 代入 ⑤ 得
y = -4.
∴原方程组的解是
③
④
y = -4.
x = 0.
4. 用代入法解下列方程组：
3x + 2(x - y) = 8，
2x - (x - y) = -4.
方法二：
解：原方程组化简，得
5x - 2y = 8
x + y = -4
①
②
由 ④ 得 x = -4 - y ⑤
代入 ③ 得
5( -4 - y ) - 2y = 8
-20 - 5y - 2y = 8
y = -4
将 y = -4 代入 ⑤ 得
x = 0.
∴原方程组的解是
③
④
y = -4.
x = 0.
方法三：
解：由 ② 得
x - y = 2x + 4 ③
将 ③ 代入 ① 得
4. 用代入法解下列方程组：
3x + 2(x - y) = 8，
2x - (x - y) = -4.
3x + 2(2x + 4) = 8
3x + 4x + 8 = 8
x = 0
将 x = 0 代入 ③ 得
0 - y = 2×0+4
y = -4
∴原方程组的解是
y = -4.
x = 0.
①
②
方法三 运用了整体代入思想.
课堂小结
定义
用代入消元法
解二元一次方程组
步骤
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
优先选择方程中未知数的系数为1，-1或常数项为0的方程变形
谢谢
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