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统编2024七下数学同步精品课件
人教版七年级下册
2025年春七下数学情景教学课件（统编2024版）
第十章 二元一次方程组
10.4.1 三元一次方程组的解法
1. 了解三元一次方程组的概念，会解三元一次方程组.
2. 经过探索三元一次方程组的解法，体会代入消元和加减消元法的化归思想.
学习目标
解：设胜了 x 场，平了 y 场，那么负了(22 - x - y)场，
可列方程组 ，
22 - x - y = 22 - 14 - 5 = 3，
答：这支球队胜了14场，平了5场，负了3场.
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分.负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
解方程组，得
新课引入
含有三个未知数的方程组如何解？这就是我们本节课要学习的三元一次方程组.
还有其他方法吗？如果设胜、平、负的场数分别有x、y、z场，你能列出方程组吗？
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分.负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
分析：设球队胜了 x 场，平了 y 场，负了 z 场，则：
等量关系：①胜的场数+平的场数+负的场数=22；
②胜的分数+平的分数=47；
③胜的场数=4×负的场数+2.
新知学习
思考 观察下面的方程组，回顾二元一次方程组的概念，有什么异同？
这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
怎样解三元一次方程组呢？　
①
②
③
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
“消元”是解方程组的重要思想，不要忘记！
方程组
还能如何解这个三元一次方程组？
如果能按照解二元一次方程组的思路，用代入法或加减法消元一个未知数，把三元一次方程组化成二元一次方程组，那我们就可以解了！
解：把③分别代入①②中，并化简
得，
解这个方程组，得，
将z = 3代入③得
所以
（消x）
（消y）
解：②-①，得
③与④组成二元一次方程组，
解这个方程组，得，
代入④，得，
所以原方程组的解是
（消z）
解：由方程①得，
把④代入方程③得，
②与⑤组成二元一次方程组，
解这个二元一次方程，得
代入④，得，
所以原方程组的解是
思考 解三元一次方程组的基本思路是什么
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
“代入”或
“加减”
消元
“代入”或
“加减”
例1 判断下列方程组是否是三元一次方程组.
√
×
三元一次方程组具备的三个条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中含有未知数的项的次数都是1；
(3)方程中含有三个整式方程.
“含有三个未知数”指的是方程组中一共含有三个未知数，而不一定是组成方程组的每一个方程中都含有三个未知数.
例2 解三元一次方程组：
(消y) 解：②×3+③，得
①与④组成方程组
解这个方程组，得，
把x = 5，z = -2代入②得
得，
所以原方程组的解为
方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y,得到一个只含x、z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
你还有其他解法吗？试一试！
解法二(消x) 解：②×3-①×2，得
②×5-③×2，得
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得，
所以原方程组的解为
把 代入②得
所以，
在消去x时，由于x的系数均不为1，因此考虑加减消元法.
解法三(消z) 解：②×4-①，得
②×7-③，得
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得，
所以原方程组的解为
把 代入②得
所以，
归纳总结
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个含有另一个未知数，且系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)写解：将求得的三个未知数的值用“｛”联立在一起.
温馨提示
根据各未知数系数的特点选择适当的消元方法去求解，在将“三元”转化为“二元”时，要注意以下四点：
(1)先消去某个方程缺少的未知数；
(2)先消去系数最简单的未知数；
(3)先消去系数成整数倍关系的未知数；
(4)注意整体加减或代入的应用.
随堂练习
1. 若 x+2y+3z ＝ 10，4x+3y+2z ＝ 15，则 x+y+z 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知方程组 ，则x+y+z 的值为___.
D
3
3. 将三元一次方程组 消去未知数z，得到的二元一次方程组为____________.
4. 解方程组：(1)
解：
①+②+③，得 2(x+y+z) =12， ④
即， x+y+z=6, ⑤
⑤-①，得 z =3，
⑤-②，得 x =1，
⑤-③，得 y =2，
将y = 3代入②，得 z = 2，
所以该方程组的解为
①
②
③
(2)
解：
①+②，得 x - z =2， ④
④+③，得 2x = 8， ⑤
将z = 2代入②，得 y = 3，
所以该方程组的解为
①
②
③
④与⑤组成方程组
解得
(3)
②-①，得 3x + 3y =3，
即 x + y =1. ④
③-①，得 24x + 6y =60，
即 4x + y =10. ⑤
将x = 3，y = -2代入①，得 z = -5，
所以该方程组的解为
解：
④与⑤组成方程组
解得
①
②
③
课堂小结
三元一次方
程组及其解法
解三元一次方程
组的思路
三元一次方程组
三元一次方程组中各个方程的公共解，
叫做这个三元一次方程组的解.
三元一次方
程组的解
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
“代入”或
“加减”
消元
“代入”或
“加减”
含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
谢谢
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