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统编2024七下数学同步精品课件
人教版七年级下册
2025年春七下数学情景教学课件（统编2024版）
第十章 二元一次方程组
10.4.2 三元一次方程组的应用
学习目标
1. 能设出未知数，根据等量关系列三元一次方程组.
2.能利用三元一次方程组解决生活中的实际问题.
新课引入
1.解三元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
“代入”或
“加减”
消元
“代入”或
“加减”
2.三元一次方程组能解决哪些问题呢？
本节课我们就来探索如何利用三元一次方程组解决实际问题！
分析：设这个三位数百位上的数为x,十位上的数为y，个位上的数为z，
等量关系：
(1)百位上的数 + 十位上的数+个位上的数= 14；
问题1 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 .如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99，求这个三位数.
(2)2×百位上的数 - 十位上的数= ×百位上的数；
(3)100×个位上的数 + 十位上的数+10×百位上的数+99= 100×百位上的数 + 10×十位上的数+个位上的数 .
新知学习
解：设这个三位数百位上的数为x,十位上的数为y，个位上的数为z，根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此这个三位数是473.
问题2 在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=3；当 x=5 时，y=60，求 a，b，c 的值.
把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
解：根据题意，列得三元一次方程组
②-①，得 a+b =1, ④
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
③-①，得 4a+b =10， ⑤
把a=3,b=-2代入①，c=-5
因此a、b、c的值分别为3，2，-5.
问题3 小明有12张面额分别为1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍. 求1元、2元和5元的纸币各多少张？
分析：设1元纸币有 x 张，2元纸币有 y 张，那么三元纸币有 z 张.
等量关系：
(1)1元纸币数量 + 2元纸币数量+5元纸币数量= 12；
(2)1元纸币金额 + 2元纸币金额+5元纸币金额= 22；
(3)1元纸币数量 =4×2元纸币数量 .
解：设1元纸币有 x 张，2元纸币有 y 张，那么三元纸币有 z 张 .
根据题意，可列方程组为
把③分别代入①和②，整理得
解这个二元一次方程，得
把y=2，z=2代入③，得
所以原方程组的解是
答：1元纸币有8张，2元纸币有2张，那么三元纸币有2张.
图说数学史
我国古代很早就开始对多元一次方程组进行研究、古代数学著作《九京算术》中专门设“方程”章讨论多元一次方程组.多元一次方程组的解法是我国在世界上领先的重大数学成就之一.我国古代解多元一次方程组的方法主要有直除法和互乘相消法.
直除法
继续使用此方法，将一行消到只剩下一个未知数，即可求解.《九章算术》中的“直除法”具有音遍性，相当于现代高等代数的矩阵解法.《九章算术》是世界上最早记录这种解法的著作.
③×2-②
③×3-①
图说数学史
刘徽
刘微给出了直除法的理论基础—举率以相减，不害余数之课也，即两个方程对应相减，方程组的解不变，刘微还创造了“互乘相消法”.
贾宪
贾宪根据题目特点灵活地选择直除法和互乘相消法，井且不再借助具体问题阐述如何解多元一次方程组.他将中国传统数学的抽象化推进到了一个新阶段.
魏晋
北宋
图说数学史
解多元一次方程组的方法反映了中国古代数学程序化的特点，宋元时期，中国数学家朱世杰又发展了多元高次方程组的求解方法.我国著名数学家吴文俊先生就借鉴中国古代数学的思想和方法，古为今用，创立了数学机械化理论，在国际上产生了巨大的形响.
互乘相消法
然后用第二行减去第一行，消去x，可以得到y的值互乘相消法不但起到事半功倍的作用，而且可以推广，如刘微所说“以小推大、虽四、五行不异也.
①×2
②×5
图说数学史
杨辉
杨辉率先以接近现代的形式列、解多元一次方程组，并对如何解多元一次方程组进行了系统的论述.
梅文鼎
梅文鼎系统整理和总结了中国传统数学中多元一次方程组的解法.
南宋
清
随堂练习
1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 ,求这三个数.
根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此甲、乙、丙三位数分别为10、15、10.
解：设这个三位数甲数为x,乙数为y，丙为z，
2.在等式 z=ax+by+c 中，当 x=1 ，y=2时，z=8；当 x=2 ，y=1时，z=5；当 x=-1 ，y=-1时，z=4.求 a，b，c 的值.
解：根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此a、b、c的值分别为-1，2，5.
3. 某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示.根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多 4 cm，求这种药品包装盒的体积.
解：设宽为 x cm，长为 y cm，高为 z cm，
根据题意，得
解得
则 8×5×12 = 480 (cm3).
答：这种药品包装盒的体积为 480 cm3.
谢谢
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