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第十章 二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
（第1课时）
经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解简单的二元一次方程组。
1.含有______个未知数，且 含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，像这样的方程叫作二元一次方程。
2.方程组中含有____个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。
两
1
两
1
3.使二元一次方程两边的值________的____个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
4.二元一次方程组的两个方程的_______，叫作二元一次方程组的解．
相等
两
公共解
新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意可列方程组
如果只设一个未知数：租用了x台大型采棉机，那么这个问题怎么列一元一次方程呢？
2x＋(6－x)＝8
思考：对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程．你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
2x＋(6－x)＝8
小型采棉机：6－x
小型采棉机：y
y＝6－x
二元
一元
x＝2
y＝6－x
y＝4
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
2x＋(6－x)＝8．
y＝6－x
二元
一元
消元
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
例1：用代入法解方程组
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，再代入方程②，比较简便．
x＝y+3
例1：用代入法解方程组
解：由①，得
x＝y+3 ③
把③代入②，得
3(y+3) 8y＝14．
解这个方程，得
y＝ 1
把 y＝ 1 代入③，得
x＝2
所以这个方程组的解为
　把③代入①可以吗？试试看？
再化简将会出现不含未知数的恒等式，这是因为方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，不能代入①.
y+3 =3
例1：用代入法解方程组
解：由①，得
x＝y+3 ③
把③代入②，得
3(y+3) 8y＝14．
解这个方程，得
y＝ 1
把 y＝ 1 代入③，得
x＝2
所以这个方程组的解为
把y＝ 1代入①或②可以吗？
得到一个未知数的值后，把它代入①②都能得到另一个未知数的值，其中代入方程更简捷。
解：由①，得
x＝y+3 ③
把③代入②，得
3(y+3) 8y＝14．
解这个方程，得
y＝ 1
把 y＝ 1 代入③，得
x＝2
所以这个方程组的解为
基本思想 → 消元
→ 代入
→ 求解
→ 回代
→ 写解
注意：要检验方程组的解
→ 变形
例1：用代入法解方程组
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
（2）代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；
（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
例2：用代入法解方程组
分析：方程②中y的系数是1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比较简便．
y＝2x16
例2：用代入法解方程组
解：由②，得
y＝2x16 ③
把③代入①，得
3x 5(2x16)＝3．
解这个方程，得
x＝11
把 x＝11 代入③，得
y＝6
所以这个方程组的解是
若方程组中有未知数的系数为 1（或－1）的方程，则选择系数为 1（或－1）的方程进行变形比较简单。
【知识技能类练习】必做题：
1．将式子改写成用含x的式子表示y，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．方程组下列解法中比较简捷的是（　　）
A．由①，得，再代入②
B．由①，得，再代入②
C．由②，得，代入①
D．由②，得，再代入①
B
【知识技能类练习】必做题：
3．解方程组：（1） （2）
解：（1）把①代入②得
解这个方程，得
把代入①得
∴这个方程组的解为
（2）由①得：
把代入②得
解这个方程，得
把代入得
∴这个方程组的解为
【知识技能类练习】选做题：
4．用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【综合拓展类练习】
5．先阅读下面解题过程，再回答问题.
解方程组
解：由①，得y＝9－2x，③
把③代入①，得2x＋9－2x＝9，
所以9＝9，故此方程组无解．
以上解题过程是否正确？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程.
解：不正确．
理由：③是由①变形得到的，如果将③代入①，会得到一个不含未知数的恒等式，应将③代入②．
正确的解答过程：
由①，得y＝9－2x，③
把③代入②,得5x＋3(9－2x)＝33,
解得x＝－6，
把x＝－6代入③，得y＝21．
所以原方程组的解为
解二元一次方程组
基本思想
基本方法
消元思想
代入消元法
【知识技能类作业】必做题：
1．把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．解下列方程组：(1) (2)
解：（1）把②代入①，得
解这个方程，得
把代入②，得
．
∴这个方程组的解是
（2）由②得：
把代入①得
解这个方程，得
把代入得
∴这个方程组的解为
【知识技能类作业】选做题：
4．如果关于的方程组的解是方程的解，那么的值是（ ）
A． B． C．5 D．20
A
【综合拓展类作业】
5．由方程组可得出x与y之间的关系是（　　）．
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
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分课时教学设计
第二课时《10.2.1 代入消元法（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是通过代入消元法解较简单的二元一次方程组。消元是解二元一次方程组的基本思想。通过消元，把二元转化为一元，这一过程体现了化归的思想，是解二元及多元线性方程的基本思路，而如何消元，可以通过代入法，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后，再求另一个未知数。代入法是把方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，代入另一个方程，从而实现消元。这种方法通过一系列明确的步骤来实现消元，进而求出二元一次方程组的解，体现了程序化的思想，有利于培养学生的运算能力。
学习者分析 学生在学习本课之前，已经掌握了二元一次方程组及解的相关概念，并能熟练解一元一次方程，在学习的过程中，能够利用化归思想解决实际问题，这些知识和能力的储备，为本节课的开展做好了准备。同时，七年级学生的抽象思维能力和逻辑思维能力较差，这也导致在课堂教学中，显得枯燥、乏味，加上部分学生的运算能力不强，使得本课内容的教学难度增大，因此，教学中要紧密联系学生已有知识，创设适宜的问题情境，提高学生的学习兴趣。
教学目标 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解简单的二元一次方程组。
教学重点 体会消元思想，能用代入法解简单的二元一次方程组。
教学难点 体会消元思想，能用代入法解简单的二元一次方程组。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解简单的二元一次方程组。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1.含有______个未知数，且 含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，像这样的方程叫作二元一次方程。 预设：两，1 2.方程组中含有____个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 预设：两，1 3.使二元一次方程两边的值________的____个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 预设：相等，两 4.二元一次方程组的两个方程的_______，叫作二元一次方程组的解． 预设：公共解 回顾章前问题： 新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台 解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意可列方程组 追问：如果只设一个未知数：租用了x台大型采棉机，那么这个问题怎么列一元一次方程呢？ 预设：2x＋(6－x)＝8 引言：本节我们继续研究怎样解二元一次方程组。学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习二元一次方程（组）及解的有关概念，加深学生对二元一次方程（组）的理解，并通过引导学生将章前问题改列为一元一次方程，为新课的引入做好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 思考：对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程．你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？ 预设：我们发现，二元一次方程组中第一个方程可以写为．由于两个方程中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把第二个方程中的y换为6－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(6－x)＝8。解这个一元一次方程，得x＝2．把x＝2代，得y＝4，从而得到这个方程组的解． 讲解：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数. 归纳：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想。 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 例1：用代入法解方程组 分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，再代入方程②，比较简便． 解：由①，得 x＝y+3 ③ 把③代入②，得 3(y+3) 8y＝14． 解这个方程，得 y＝ 1 把 y＝ 1 代入③，得 x＝2 所以这个方程组的解为 追问1：把③代入①可以吗？试试看？ 预设：再化简将会出现不含未知数的恒等式，这是因为方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，不能代入①. 追问2：把y＝ 1代入①或②可以吗？ 预设：得到一个未知数的值后，把它代入①②都能得到另一个未知数的值，其中代入方程更简捷。 归纳：代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来； （2）代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值； （5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解． 注意：要检验方程组的解 例2：用代入法解方程组 分析：方程②中y的系数是1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比较简便． 解：由②，得 y＝2x16 ③ 把③代入①，得 3x 5(2x16)＝3． 解这个方程，得 x＝11 把 x＝11 代入③，得 y＝6 所以这个方程组的解是 指出：若方程组中有未知数的系数为 1（或－1）的方程，则选择系数为 1（或－1）的方程进行变形比较简单。学生活动3： 学生认真思考，并小组内讨论，然后派代表交流，然后认真听老师的讲解，并在老师的引导下，在小组合作探究中完成例1和例2，并尝试归纳代入法解二元一次方程组的一般步骤 活动意图说明： 通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，给出数学方法的名称，即数学概念，从而体验“过程与方法”。在自主学习的尝试中，体会解二元一次方程的思想和方法，代入法的关键是二元一次方程变形，让学生在解决问题的过程中，总结归纳出解题的一般步骤和解题技巧。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.2.1 代入消元法（第1课时） 一、消元 二、代入消元法 三、代入解二元一次方程组的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．将式子改写成用含x的式子表示y，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．方程组下列解法中比较简捷的是（　　） A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入② C．由②，得，代入① D．由②，得，再代入① 答案：B 3．解方程组： （1） （2） 解：（1）把①代入②得 解这个方程，得 把代入①得 ∴这个方程组的解为 （2）由①得： 把代入②得 解这个方程，得 把代入得 ∴这个方程组的解为 选做题： 4．用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．先阅读下面解题过程，再回答问题． 解方程组 解：由①，得y＝9－2x，③ 把③代入①，得2x＋9－2x＝9， 所以9＝9，故此方程组无解． 以上解题过程是否正确？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程． 解：不正确．理由：③是由①变形得到的，如果将③代入①，会得到一个不含未知数的恒等式，应将③代入②． 正确的解答过程：由①，得y＝9－2x，③ 把③代入②，得5x＋3(9－2x)＝33， 解得x＝－6， 把x＝－6代入③，得y＝21． 所以原方程组的解为
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　） A． B． C． D． 答案：B 2．在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．解下列方程组： (1) (2) 解：（1）把②代入①，得 解这个方程，得 把代入②，得 ． ∴这个方程组的解是 （2）由②得： 把代入①得 解这个方程，得 把代入得 ∴这个方程组的解为 选做题： 4．如果关于的方程组的解是方程的解，那么的值是（ ） A． B． C．5 D．20 答案：A 【综合拓展类作业】 5．由方程组可得出x与y之间的关系是（　　）． A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7 答案：B
教学反思 用代入消元法解二元一次方程组是《消元——解二元一次方程组》的第一课时，这堂课的内容对于学生来说相对比较简单，学生具备解一元一次方程和用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的基础，因而学生有能力通过合作探究出用代入法解二元一次方程组的方法，在教学中让学生体会数学学习和研究中的“化未知为已知”的化归思想，并体会程序化思想。
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同步探究学案
课题 10.2.1 代入消元法（第1课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用代入法解简单的二元一次方程组。
重点 体会消元思想，能用代入法解简单的二元一次方程组。
难点 体会消元思想，能用代入法解简单的二元一次方程组。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.含有______个未知数，且 含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，像这样的方程叫作二元一次方程。 2.方程组中含有____个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 3.使二元一次方程两边的值________的____个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 4.二元一次方程组的两个方程的_______，叫作二元一次方程组的解． 章前问题：新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台 解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意可列方程组 想一想：如果只设一个未知数：租用了x台大型采棉机，那么这个问题怎么列一元一次方程呢？
新知探究 本节课来研究： 本节我们继续研究怎样解二元一次方程组。 思考：对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程．你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？ 归纳：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作_____思想。 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含______未知数的式子表示出来，再代入_______方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的_____。这种解二元一次方程组的方法叫作______消元法，简称代入法． 例1：用代入法解方程组 分析：方程①中_____的系数是1，用含_____的式子表示x，再代入方程_______，比较简便． 问题1：把③代入①可以吗？试试看？ 问题2：把y＝ 1代入①或②可以吗？ 归纳：代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有________未知数的式子表示出来； （2）代入：把变形后的方程代入_____方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的_____； （4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的_______，求出另一个未知数的值； （5）写解：将两个未知数的值用“______”联立在一起，就得到方程组的解． 注意：要检验方程组的_______ 例2：用代入法解方程组 分析：方程②中y的系数是，用含_____的式子表示y，再代入方程_____，比较简便．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．将式子改写成用含x的式子表示y，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．方程组下列解法中比较简捷的是（　　） A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入② C．由②，得，代入① D．由②，得，再代入① 3．解方程组： （1） （2） 选做题： 4．用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．先阅读下面解题过程，再回答问题． 解方程组 解：由①，得y＝9－2x，③ 把③代入①，得2x＋9－2x＝9， 所以9＝9，故此方程组无解． 以上解题过程是否正确？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 1．把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　） A． B． C． D． 2．在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ） A． B． C． D． 3．解下列方程组： (1) (2) 选做题： 4．如果关于的方程组的解是方程的解，那么的值是（ ） A． B． C．5 D．20 【综合拓展类作业】 5．由方程组可得出x与y之间的关系是（　　）． A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
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