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集合（精讲）
考向一 元素的互异性
【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】B
【解析】因为所以或，
当时，，此时，，故舍去：
当时，解得或（舍去），
综上．故选：B
【例1-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由题设，可得或，
当时，，满足题设；
当时，，不符合集合元素的互异性；
所以.故选：C
【变式】
1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（ ）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【答案】C
【解析】由元素和集合关系可知：或或，解的或或，
由集合的性质可知，当时，不满足互异性，所以的取值为或.故选：C.
2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 .
【答案】
【解析】在中，，则且，
而，，显然，因此，解得，所以.故答案为：
3.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ．
【答案】1
【解析】由已知得，则，所以，于是，即或，
又由集合中元素的互异性知应舍去，故，所以．故答案为：1.
考向二 无参集合间的关系
【例2-1】（2024·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合，
对于A，因为，故选项A错误；
对于B，是一个集合，且，故选项B错误；
对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；
对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，
故选：D.
【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，显然为奇数，
而，所以 .故选：C
【变式】
1.（2024·广东·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由集合，，得.故选：D
2（浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以.故选：D.
3.（23-24黑龙江大庆·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由解得，由解得，
所以，，
所以，，，
又，所以，故选：B
考向三 无参集合间的运算
【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题设，，则.
故选：A
【例3-2】（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：由于，故，故C正确；
对于选项D：由于，故，故D错误
故选：BC
【变式】
1.（2024·辽宁·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，所以，故选：B
2（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合，且，则集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，显然A中集合不合题意；
B中集合为或，也不合题意，
C中集合为，满足题意，
D中集合为，不合题意.
故选：C
3.（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题易知，，所以，，
所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确.
故选：BCD.
4.（2025海南）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为，
所以，故A错误；
，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
，故D正确.故选：BD.
考向四 （真）子集的个数
【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，，则，则子集的个数为个，故选：B.
【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】A
【解析】不等式的解为，因为，所以，
所以集合的真子集个数为.故选：A.
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足 的集合A的个数为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【解析】由，整理可得，解得或，
则 ，设，所以 ，可得.
故选：B.
【变式】
1.（24-25贵州黔西·阶段练习）已知集合，集合，则集合子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】∵集合，集合，
∴.∴集合子集个数是.故选：B.
2（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由，得或，解得或空集，
又，所以，则集合A的子集个数为.故选：C
3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足 ，则这样的集合共有 个.
【答案】7
【解析】由 ，则集合中一定有元素，且至少含有其中一个元素，
则这样的集合共有个.故答案为：7.
考向五 集合中求参数
【例5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】C
【解析】因为集合，，，
所以，所以或，
若，则，此时，满足题意；
若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去．
综上，．
故选：C．
【例5-2】（2025·河南·三模）设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，又，
所以当时，可得.故选：C.
【例5-3】（2025·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】有或，所以，，
由有，所以，即.故选：A.
【例5-4】（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，又，所以，得.故选：C.
【变式】
1．（2024·四川绵阳·一模）集合，，且，实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【解析】由集合，且，又由，可得，
当时，此时集合，满足；
当时，可得，要使得，则满足或，解得或，
综上可得，实数的值为或或.故选：D.
2.（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解集合，解集合，
因为，所以，故选：B.
3（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，且满足，，所以当时满足，
此时，解得，当时，则有，解得,综上，，
即实数的取值范围为．故选：A．
4．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以是方程的根，则，解得，
故，合乎题意，故.
故选：C
5（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】ABC
【解析】由已知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误；
故选：ABC.
考向六 韦恩图及其应用
【例6-1】（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，，
而阴影部分表示的集合是，
则图中阴影部分表示的集合是，故B正确.
故选：B
【例6-2】（24-25重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为.
故选：C
【例6-3】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【答案】C
【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为，
原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即，
所以，解得.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为.
故选：C
【变式】
1.（2025北京）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，
所以集合表示为.
故选：A.
2.（2025·湖南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项BC不正确.
故选：AD.
3.（2025辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步 拔河 篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步 拔河 篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
【答案】BCD
【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.
故选：BCD．
考向七 函数集合
【例7】（2025·陕西咸阳·二模）已知集合，，则下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数，可得，解得，所以，
又由，解得或，所以或，
则，，且，，故选：D.
【变式】
1（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】有意义，即有，解得，
故，则或}.
∵，
∴.
故选：B
2.（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，
得，，所以．
故选：C．
3.．（24-25重庆）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由可得
得，
故,A错误，
,B正确，
，C正确，
，D正确，故选：BCD
考向八 点集合
【例8-1】（2025甘肃兰州·开学考试）已知集合，则集合的元素个数为 .
【答案】1
【解析】集合，
把代入，得，，
集合中元素的个数为1.故答案为：1
【例8-2】（2024·河南新乡·二模）（多选）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合，
表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合，
表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，
表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，
对于A，集合中的直线平行，故，故A正确，
对于B，由于，故在圆内，
故经过点的直线与圆相交，，故B正确，
对于C，由于，故在圆外，
故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误，
对于D，由于，故两圆相交，，D错误，
故选：AB
【变式】
1.（23-24海南·阶段练习）已知集合，且，则中元素的个数为 个.
【答案】
【解析】因为，且，
所以，
则中元素的个数为个.
故答案为：
2.（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知集合，，则中有 个元素.
【答案】2
【解析】由且知，为偶函数，
故函数图象关于y轴对称，
当时，作出与圆的图象，如图，
由图象知，当时，有一个交点，
再由偶函数图象的对称性可知，当时，也有一个交点．
综上，图象与圆有两个交点，
所以中的元素个数为2个．
故答案为：.
3.（24-25高三下·上海·开学考试）若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为 .
【答案】
【解析】联立，得，
由，可知直线过点，则有一个公共点，
由，得，
当时，有，即，则有唯一解，
对的情况进行讨论：
①，此时有，，符合题意；
②，，符合题意；
③当是方程的一个解时，有，此时，
此时另外一个解为，符合题意，
综上，所有满足要求的实数组成的集合为.
故答案为：
考向九 新定义
【例9】（2025高三·全国·专题练习）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．
①若，则是3阶聚合点集
②存在对任意正数，使不是阶聚合点集
③若，则不是阶聚合点集
④ “”是“是阶聚合点集”的充要条件
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，由可得，故是3阶聚合点集，即①正确；
对于②，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故②错误；
对于③，因，而，
故不是阶聚合点集，即③正确；
对于④，因是阶聚合点集等价于，
因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，
故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即④正确.
故答案为：①③④
【变式】
1.（2025海南·阶段练习）（多选）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】，A错误；
，，B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：BC.
2.（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
【答案】ABD
【解析】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、.
当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、.
当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足.
同理，中含个元素的子集也不满足.
综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确.
若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确.
若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误；
对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为.
又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确.
故选：ABD.
3.（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【解析】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
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集合（精讲）
考向一 元素的互异性
【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【例1-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
【变式】
1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（ ）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 .
3.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ．
考向二 无参集合间的关系
【例2-1】（2024·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1.（2024·广东·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2（浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24黑龙江大庆·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考向三 无参集合间的运算
【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1.（2024·辽宁·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合，且，则集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4.（2025海南）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
考向四 （真）子集的个数
【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足 的集合A的个数为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．15
【变式】
1.（24-25贵州黔西·阶段练习）已知集合，集合，则集合子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足 ，则这样的集合共有 个.
考向五 集合中求参数
【例5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【例5-2】（2025·河南·三模）设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5-3】（2025·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2024·四川绵阳·一模）集合，，且，实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
2.（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
考向六 韦恩图及其应用
【例6-1】（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（24-25重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（ ）
A． B．
C． D．
【例6-3】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【变式】
1.（2025北京）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．或
C． D．
2.（2025·湖南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步 拔河 篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步 拔河 篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
考向七 函数集合
【例7】（2025·陕西咸阳·二模）已知集合，，则下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3.．（24-25重庆）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考向八 点集合
【例8-1】（2025甘肃兰州·开学考试）已知集合，则集合的元素个数为 .
【例8-2】（2024·河南新乡·二模）（多选）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1.（23-24海南·阶段练习）已知集合，且，则中元素的个数为 个.
2.（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知集合，，则中有 个元素.
3.（24-25高三下·上海·开学考试）若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为 .
考向九 新定义
【例9】（2025高三·全国·专题练习）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．
①若，则是3阶聚合点集
②存在对任意正数，使不是阶聚合点集
③若，则不是阶聚合点集
④ “”是“是阶聚合点集”的充要条件
其中所有正确结论的序号是 .
【变式】
1.（2025海南·阶段练习）（多选）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
3.（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
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