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2.1 导数的概念
1
导 语
同学们，回顾上节课的内容，在解决问题时，我们都运用了“平
均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法。比如，当大家经过红 绿灯路口时，测速探头会在极短的时间内拍摄两次，通过计算这两次 拍摄之间的位移来判断车速，其原理正是基于无限逼近的思想。今天， 我们将继续运用这种思想方法，研究更一般的问题。
导数的概念
1.设函数y=f(x),当自变量x从x,变到x 时，函数值y从f(x )变 到f(x ),函 数值y
关于x的平均变化率为
平均变化率的极限
2.当x 趋 于x, 即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个 值就是函数y=f(x)在点x 的 瞬时变化率
3.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x) 在点x, 处的_ 导数 ,通常用符号 f(x,)表示，用极限符号表示这个定义，记作：
第3页
微提醒
(1)函数应在x 的附近有定义，否则导数不存在.
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x) 在x=x 及其附近的函数值有 关，与△x 无关.
(3)导数的实质是一个极限值.
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课堂练习
练习1 根据导数的定义，求函数y=f(x)= x +3 在x=1 处的导数。
解：∵△y=f(1+△x)-f(1)=[(1+△x) +3]-(1 +3)=2△x+(△x) ,
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反思感悟
根据定义求导数的步骤：
第一 步，求函数的变化(增量):对于函数y=f(x), 自变量的增量是△x ,
相应的函数值的增量是△y=f(xo+△x)-f(x ) .
第 二步，求平均变化率(增量之比):
第三步，求瞬时变化率(增量之比的极限):
一差、二比、三极限
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A.-4f(x ) B.f(x )
C. 4f(x )
例1 设f(x) 在xo可导，则
大本P 58
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是 一 个局部概念，它只与函数y=f(x) 在 x=xo 及其附近的函数值有关，与
△x 无 关 .
瞬时变化率的常见变形形式：
反 思 感 悟
导 数 的 形 式 化 计 算 的 本 质 就 是 对 导 数 概 念
的理解 . 需要说明的是导数
lim
△x→0
课堂练习 题型：导数公式的形式化计算
练习2 若函数y=f(x)在x=xo 处可导，则 等于
【思路分析】 本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求
解，需明确△x, △y 的含义.
( ) A.f(xo) C.-2f(xo)
P .2f(xo)
D.0
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课堂练习
【 解 析 】 方 法 一 ：
f'(xo)+f'(xo)=2f'(xo).
(xo).
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对点练 1. 已知函数f(x)可导，且满足 ,则函数y
=f(x) 在x=3 处的导数为
A.-1 B. 一 2
C.1 D.2
解析
因为
所以f(3)= -1, 故选A.
则f(xo)=( )
A.2 B.—1
C. , 1 D. 一 2
【 解 析 】
思考题3 (1)设f(x)是可导函数，且
课堂练习
第12页
课堂练习
(2)若f(xo)=2, 值 .
【解析】 令—k=△x, ∵k→0,∴△x→0.
则原式可变形为
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问题3.一质点的运动位移s(单位：m) 是关于时间t(单位：s)的函数：s=s(t)
=-2t+3. 根据导数的定义你能求出s'(1),并解释它的实际意义吗
提示：
. 当△t 趋于0时， 于 - 2 , 则
s'(1)=-2 m/s, 导数s'(1)=-2 m/s 表示该质点在 t=1 时的瞬时速度.
问题导思
□ 新知构建
对于函数f(x),f(x ) 的意义就是函数f(x) 在x=x 处的 瞬时变化率
例2(1)已知函数y=f(x)=2x +1. 求函数f(x)在x=2 处的瞬时变化率.
解：△y=f(2+△x)-f(2)=2(2+△x) +1-(2×2 +1)=2(△x) +8△x.
所1
故函数f(x)在x=2 处的瞬时变化率为
=lim(2△x+8)=8.
故当△x 无限趋近于0时， 无限趋近于0,
即当x=1 时，函数 的导数为0 .
(2)求函数 x=1 处的导数.
解 ： 因 为
1. 求瞬时变化率的主要步骤
第一步：先计算函数值的改变量△y=f(x )- f(x );
第二步：再计算自变量的改变量△x=x -x ;
第三步：得平均变化
规律方法
第四步：得瞬时变化率
2. 由导数的定义，求函数y=f(x) 在点x,处的导数的步骤
第一步：求函数值的增量△y=f(x +△x)-f(x );
第二步：求平均变化
第三步：取极限，得导数
规律方法
A.—4
C.—2
解析
解 得m=±2. 故 选 D.
B.2
±2
9 则 m 的值等于
所以 f(m)=lim
对点练2.
, 所 以
已 知
,m =4,
且
对点练3.已知函数 函数f(x) 在x=1 处的瞬时变化率是多少
解：函数f(x)在x=1 处的瞬时变化率为
返回
导数在实际问题中的意义
例3 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单
位：千台)之间的关系式为c(x)=-2x +7x+6. 求c'(1) 与c'(2), 并说明它们 的实际意义.
解：设x=1 时产量的改变量为△x,
则
=-2△x+3,
设x=2 时产量的改变量为△x,
c'(1)的实际意义：当产量为1000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c'(2)的实际意义：当产量为2000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
规律方法
首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会
到导数的实际意义.
对点练4.有一边长为10 cm 的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃),加热后铁
板会膨胀，已知铁板温度为t ℃(t>0)时，其边长膨胀为10(1+at)cm, 其中 a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率.
解：设温度的增量为△t, 则铁板面积的增量为△S=100[1+a(t+△t)] - 100(1+at)
=200(a+a t)△t+100a (△t) ,
则
当△t→0时，
故铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为200a(1+at).
谢谢!

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