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第8课时　一元二次方程
第二章 方程与不等式
1.了解一元二次方程的定义和它的解.
2.会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解数字系
数的一元二次方程.
3.会用根的判别式判别一元二次方程在实数范围内是否有解.
4.了解一元二次方程的根与系数的关系.
1.一元二次方程的定义：只含有______个未知数，并且未知数
的最高次数是______的整式方程叫作一元二次方程.它的一般形式
是_____________________.
一
2
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的常用解法有：①______________________；
②________________；③______________；④______________.
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
3.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是
_______________________________.
4.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式：Δ＝b2－
4ac.
两个不相等
两个相等
没有
(1)当Δ＝b2－4ac>0 时，方程有_______________的实数根.
(2)当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程有______________的实数根.
(3)当Δ＝b2－4ac<0 时，方程________实数根.
5.如果一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根是 x1，x2，那么
x1＋x2＝________，x1x2＝________.
－p
q
一元二次方程的定义
1.若关于 x 的方程(k－1)x2＋2x－3＝0 是一元二次方程，则 k
的取值范围是__________.
答案：k≠1
一元二次方程的解的概念
2.如果 2 是关于 x 的方程 x2－3x＋k＝0 的一个根，则常数 k
的值为(
)
A.1
B.2
C.－1
D.－2
答案：B
解一元二次方程
3.解下列一元二次方程：
(1)x2－5x＋4＝0;
(2)－4x2＋4x－1＝0.
答案：(1)x1＝1，x2＝4.
一元二次方程根的判别式
4.(2024·广东)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋c＝0 有两个
相等的实数根，则 c＝________.
答案：1
一元二次方程的根与系数的关系
答案：A
答案：A
1.一元二次方程的二次项系数不等于 0.
2.已知一元二次方程的一个根，可以直接把它代入方程从而得
到一个等式，求出未知系数与另一个根.
3.根据方程特点选择解一元二次方程的方法：
(1)方程没有一次项，直接开方；(2)如果缺少常数项，因式分
解；(3)b，c 相等都为零，等根是零；(4)b，c 同时不为零，因式分
解、配方或直接用求根公式.
4.x2＋(p＋q)x＋pq 型式子可用十字相乘法因式分解为(x＋p)(x
＋q)，例如：
(1)x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)；(2)x2－2x－15＝(x－5)(x＋3).
1.(2023·赤峰)用配方法解方程 x2－4x－1＝0 时，配方后正确
的是(
)
B.(x＋2)2＝17
D.(x－2)2＝17
A.(x＋2)2＝3
C.(x－2)2＝5
答案：C
2.(2024·黑龙江)关于 x 的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0
)
有两个实数根，则 m 的取值范围是(
A.m≤4
B.m≥4
C.m≥－4 且 m≠2
D.m≤4 且 m≠2
答案：D
3.(2022·聊城)用配方法解一元二次方程 3x2＋6x－1＝0，将它
化为(x＋a)2＝b 的形式，则 a＋b 的值为(
)
A.
10
3
B.
7
3
D.
4
3
C.2
答案：B
4.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 x2－10x＋21
)
＝0 的两个根，则这个三角形的周长为(
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
答案：C
5.(2024·潍坊)已知关于 x 的一元二次方程 x2－mx－n2＋mn＋
1＝0，其中 m，n 满足 m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判
断正确的是(
)
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案：C
6.(2023·广安)已知 a，b，c 为常数，点 P(a，c)在第四象限，
)
则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案：A
则 m 的取值范围是________.
答案：m＜3
8.(2024·巴中)已知方程 x2－2x＋k＝0 的一个根为－2，则方
程的另一个根为______.
答案：4
9.(2024·成都)若 m，n 是一元二次方程 x2－5x＋2＝0 的两个
实数根，则 m＋(n－2)2 的值为________.
答案：7
10.解下列一元二次方程：
(1)(x－3)(x－1)＝3；
(2)x2－2x＝2x＋5.
答案：(1) x1＝0，x2＝4.
(2) x1＝5，x2＝－1.
11.已知 m 是不等式 5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7 的最小整数解，
请用配方法解关于 x 的方程 x2＋2mx＋m＋1＝0.
解：解不等式 5(a－2)＋8<6(a－1)＋7，得 a>－3.
∴最小整数解 m 为－2.
将 m＝－2 代入方程 x2＋2mx＋m＋1＝0，得 x2－4x－1＝0.
配方，得(x－2)2＝5.
12.小明解关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋5＝0 时，在解答过
程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 4 和 2.
(1)求 b 的值.
(2)若菱形的对角线长是关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋5＝0
的解，求菱形的面积.
解：(1)∵在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个
根是 4 和 2，
∴－b＝4＋2.∴b＝－6.
(2)由(1)得原方程为 x2－6x＋5＝0，
即(x－1)(x－5)＝0.
解得 x1＝1，x2＝5.
13.(2024·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m＋2)x＋
m－1＝0.
(1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
的值.
(1)证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
这里a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－
4m＋4＝m2＋8.
∵m2≥0，∴Δ＞0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.

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