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第9课时　方程(组)和不等式的应用
第二章 方程与不等式
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程(组)或不等式(组).
2.能用一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式解决
实际问题.
3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
1.解应用题的一般步骤：①设未知数；②根据题意列方程(组)
或不等式(组)；③解方程(组)或不等式(组)；④检验及答.
2.如果列出的是不等式(组)，计算结果除了满足题目本身的要
求外，还要具有实际意义.
一元一次方程的应用
1.(2022·铜仁)为了提高学生的安全防范意识，某校九(1)班班
委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20道，记分规则如下：
每答对一道得 5 分，每答错或不答一道扣 1 分.小红一共得 70 分，
则小红答对题的道数为(
)
A.14
B.15
C.16
D.17
答案：B
二元一次方程组的应用
2.(2023·宜宾)“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何”是《孙子算经》中的数学问题.意思是：鸡兔同笼，
从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿.问鸡兔各有多少只.
若设鸡有 x 只，兔有 y 只，则所列方程组正确的是(
)
答案：B
3.(2022·广东)《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生
要凑钱购买 1 本《九章算术》.若每人出 8 元，则多了 3 元；若每
人出 7 元，则少了 4 元.则学生人数和该书单价各是多少？
答：学生有 7 人，该书单价为 53 元.
解：设学生有 x 人，该书单价为 y 元，
一元一次不等式的应用
4.(2024·资阳)2024 年巴黎奥运会将于 7 月 26 日至 8 月 11 日
举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的 A，B 两款纪念品深
受青少年喜爱.已知购进 3 个 A 款比购进 2 个 B 款多用 120 元；购
进 1 个 A 款和 2 个 B 款共用 200 元.
(1)分别求出 A，B 两款纪念品的进货单价.
(2)该商店决定购进这两款纪念品共 70 个，其总费用不超过
5 000 元，则至少应购买 B 款纪念品多少个？
解：(1)设 A，B 两款纪念品的进货单价分别为 x 元、y 元，
答：A，B 两款纪念品的进货单价分别为 80 元和 60 元.
(2)设购买 m 件 B 款纪念品，则购买(70－m)件 A 款纪念品，
根据题意，得 60m＋80(70－m)≤5 000，
解得 m≥30.
答：至少应购买 B 款纪念品 30 个.
1.在列方程(组)解应用题时关键是找等量关系，要善于把生活
语言转化为数学语言，可结合图象法、列表法等，快速找出等量
关系.
2.在列不等式解应用题时，要找准题目中的“大于”“不小
于”“不足”“至少”等一些表示不等关系的关键词.
1.(2022·南充)《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡
兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设鸡有
x 只，可列方程为(
)
B.4x＋2(35－x)＝94
D.2x＋4(35－x)＝94
A.4x＋2(94－x)＝35
C.2x＋4(94－x)＝35
答案：D
2.(2024·广州)某新能源车企今年 5 月交付新车 35 060 辆，且
今年 5 月交付新车的数量比去年 5 月交付的新车数量的 1.2 倍还多
1 100 辆.设该车企去年 5 月交付新车 x 辆，根据题意，可列方程为
(
)
B.1.2x－1 100＝35 060
D.x－1 100＝35 060×1.2
A.1.2x＋1 100＝35 060
C.1.2(x＋1 100)＝35 060
答案：A
3.(2024·烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.
书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，
末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现有一个不擅
长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，
第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30 天完工，问一共
织了多少布？(
)
A.45 尺
B.88 尺
C.90 尺
D.98 尺
答案：C
4.(2023·齐齐哈尔)为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，
某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 150 cm 的导线，将
其全部截成 10 cm 和 20 cm 两种长度的导线用于实验操作(每种长
度的导线至少一根)，则截取方案共有(
)
B.6 种
D.8 种
A.5 种
C.7 种
答案：C
5.某市天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时，采用一
种鼓励居民使用天然气的收费办法：若整个小区每户都安装，收
整体初装费 10 000 元，再对每户收费 500 元.某小区住户按这种收
费方法全部安装天然气后，每户平均支出不足 1 000 元，则这个小
区的住户数(
)
B.至多 20 户
D.至少 21 户
A.至少 20 户
C.至多 21 户
答案：D
6.把一些笔记本分给几个学生，如果每人分 3 本，那么剩余 8
本；如果前面的每个学生分 5 本，那么最后一人就分不到 3 本.则
)
B.5 人
D.5 人或 6 人
共有学生(
A.4 人
C.6 人
答案：C
7.(2021·陕西)幻方最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所
示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数之和均相等，
则图中 a 的值为________.
答案：－2
8.(2024·常州)“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，
提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速 80 km/h 的路段上，某时刻的
导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时 32 s，第二个路
口显示红灯倒计时44 s，此时车辆分别距离两个路口480 m
和 880 m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是 30 s，
50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45 s，60 s.若
不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于 40 km/h 的车速全
程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间
也可通过)，则车速 v(km/h)的取值范围是________.
答案：54≤v≤72
9.(2024·扬州)《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算
经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一
个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走 100 米，速
度慢的人每分钟走 60 米，现在速度慢的人先走 100 米，速度快的
人去追他.问速度快的人追上他需要________分钟.
答案：2.5
10.(2024·长沙)为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1 978，最后减去参与者的出生年份(注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2 010)，得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是________.
答案：2009
11.(2022·广州)2022 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉
祥物雪容融深受大家喜爱.已知购买 1 个冰墩墩毛绒玩具和 2 个雪
容融毛绒玩具用了 400 元，购买 3 个冰墩墩毛绒玩具和 4 个雪容
融毛绒玩具用了 1 000 元.这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为 x 元，雪容融毛绒玩具的单
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为 200 元，雪容融毛绒玩具的单
价为 100 元.
A 型机器人数量/台 B 型机器人数量/台 总费用/万元
1 3 260
3 2 360
12.(2024·南通)某快递企业为提高工作效率，拟购买 A，B
两种型号智能机器人进行快递分拣.相关信息如下：
信息一
信息二
A 型机器人每台每天可分拣快递 22 万件；B 型机器人每台每
天可分拣快递 18 万件.
(1)求 A，B 两种型号智能机器人的单价.
(2)现该企业准备用不超过 700 万元购买 A，B 两种型号智能
机器人共 10 台.则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的
件数最多？
解：(1)设 A 型智能机器人的单价为 x 万元，B 型智能机器人
的单价为 y 万元，
∴A 型智能机器人的单价为 80 万元，B 型智能机器人的单价
为 60 万元.
(2)设购买 A 型智能机器人 a 台，
则购买 B 型智能机器人(10－a)台，
∴80a＋60(10－a)≤700，
∴a≤5.
∵每天分拣快递的件数＝22a＋18(10－a)＝4a＋180，
∴当 a＝5 时，每天分拣快递的件数最多为 200 万件，
∴选择购买 A 型智能机器人 5 台，购买 B 型智能机器人 5 台.
品种 单价/元 成活率/% 植树费/(元·棵-1)
A 20 90 5
B 30 95 5
13.为建设新农村，某村村委会决定在村道两旁种植 A，B 两
种树木，需要购买这两种树苗共 1 000 棵，两种树苗的相关信息如
下表：
设购买 A 种树苗 x 棵，绿化村道的总费用为 y 元，解答下列
问题：
(1)写出 y(元)与 x(棵)之间的函数关系式.
(2)若这批树苗种植后活了 925 棵，则绿化村道的总费用大约
为多少元？
(3)若绿化村道的总费用不超过 31 000 元，则最多可购买 B 种
树苗多少棵？
解：(1)由题意，得 y＝20x＋30×(1 000－x)＋5x＋5×(1 000－x)，
即 y＝35 000－10x.
(2)90%x＋95%×(1 000－x)＝925，
解得 x＝500.
y＝35 000－10x＝35 000－10×500＝30 000.
∴绿化村道的总费用大约为 30 000 元.
(3)35 000－10x≤31 000，
解得 x≥400.∴1 000－x≤600.
∴最多可购买 B 种树苗 600 棵.
14.某农谷生态园响应国家发展有机农业的政策，大力种植有
机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种
蔬菜进价每千克 m 元，售价每千克 16 元；乙种蔬菜进价每千克 n
元，售价每千克 18 元.
(1)该超市购进甲种蔬菜 15 千克和乙种蔬菜 20 千克需要 430
元；购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 8 千克需要 212 元，求 m，
n 的值.
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克，且投入
资金不少于 1 160 元又不多于 1 168 元，设购买甲种蔬菜 x(x 为正
整数)千克，求有哪几种购进方案.
(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售
出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地
福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 20%，求 a 的最大值.
答：m 的值为 10，n 的值为 14.
(2)依题意，
解得 58≤x≤60.
又∵x 为正整数，
∴x 可以为 58，59，60.
∴共有 3 种购进方案，
方案 1：购进 58 千克甲种蔬菜，42 千克乙种蔬菜；
方案 2：购进 59 千克甲种蔬菜，41 千克乙种蔬菜；
方案 3：购进 60 千克甲种蔬菜，40 千克乙种蔬菜.
(3)方案 1 的总利润：(16－10)×58＋(18－14)×42＝516(元).
方案 2 的总利润：(16－10)×59＋(18－14)×41＝518(元).
方案 3 的总利润：(16－10)×60＋(18－14)×40＝520(元).
∵516＜518＜520，
∴利润最大值为 520 元，即售出甲种蔬菜 60 千克，乙种蔬菜
40 千克时利润最大.
依题意，得(16－10－2a)×60＋(18－14－a)×40≥(10×60＋
14×40)×20%.
整理得 520－160a≥232.
解得 a≤1.8.
答：a 的最大值为 1.8.

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