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第14课时　二次函数(1)
第三章 函数
1.理解二次函数的意义.
2.会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象认识二次函数
的性质.
3.会用配方法将只含数字系数的二次函数的表达式化为 y＝
a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标
和开口方向，画出图象的对称轴.
1.定义：一般地，如果 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)，
那么 y 叫作 x 的____________.
二次函数
顶点
2.二次函数的图象及性质：
(1)二次函数的图象为抛物线，关键要抓住抛物线的三要素：
开口方向、对称轴和________.
>0
<0
3.二次函数图象的顶点坐标和对称轴：
(1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点坐标是
___________________，对称轴是_________.
(2)二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象的顶点坐标是_______，
对称轴是__________.
(h，k)
x＝h
二次函数的性质
1.(2023·兰州)已知二次函数 y＝－3(x－2)2－3，下列说法正
确的是(
)
B.顶点坐标为(2，3)
D.函数的最小值是－3
A.对称轴为 x＝－2
C.函数的最大值是－3
答案：C
二次函数的最值
2.(2024·哈尔滨)二次函数 y＝2(x＋1)2＋3 的最小值是(
)
A.－1
B.1
C.2
D.3
答案：D
二次函数的图象
3.(2022·广州)如图所示，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴
为直线 x＝－2，下列结论正确的是(
)
A.a<0
B.c>0
C.当 x<－2 时，y 随 x 的增大而减小
D.当 x>－2 时，y 随 x 的增大而减小
答案：C
4.一次函数 y＝ax＋b 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋
bx的图象可能是(　　)
A
B
C
D
答案：D
1.利用配方法确定二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值.
2.在画二次函数的图象(抛物线)的时候应抓住以下五点：开口
方向、对称轴、顶点、与 x 轴的交点、与 y 轴的交点.
3.抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位置与 a，b，c 的关系：
a 的正负决定了开口方向，a，b 的符号共同决定了对称轴的位置，
c 的符号决定了抛物线与 y 轴交点的位置.
1.若函数 y＝x2m-4 是二次函数，则 m 的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
2.(2023·贵州)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，
)
B.第二象限
D.第四象限
则点 P(a，b)所在的象限是(
A.第一象限
C.第三象限
答案：D
3.(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数
)
B.y2＞y1＞y3
D.y3＞y1＞y2
y＝x2 的图象上，则(
A.y3＞y2＞y1
C.y1＞y3＞y2
答案：A
4.(2022·成都)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴相
交于 A(－1，0)，B 两点，对称轴是直线 x＝1，下列说法正确的是
(
)
A.a>0
B.当 x>－1 时，y 的值随 x 值的增大而增大
C.点 B 的坐标为(4，0)
D.4a＋2b＋c>0
答案：D
5.(2022·陕西)已知二次函数 y＝x2－2x－3 的自变量 x1，x2，x3
对应的函数值分别为 y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3
时，y1，y2，y3 三者之间的大小关系是(
)
B.y2＜y1＜y3
D.y2＜y3＜y1
A.y1＜y2＜y3
C.y3＜y1＜y2
答案：B
6.(2023·大连)已知二次函数 y＝x2－2x－1，当 0≤x≤3 时，函
)
B.－1
D.2
数的最大值为(
A.－2
C.0
答案：D
7.(2022·绍兴)已知抛物线 y＝x2＋mx 的对称轴为直线 x＝2，则
关于 x 的方程 x2＋mx＝5 的根是(
)
B.1，5
D.－1，5
A.0，4
C.1，－5
答案：D
8.(2023·广东)如图，抛物线 y＝ax2＋c 经过正方形 OABC 的三
个顶点 A，B，C，点 B 在 y 轴上，则 ac 的值为(
)
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
答案：B
9.沿着 x 轴正方向看，抛物线 y＝－2x2 在 y 轴的左侧部分是
________(填“上升”或“下降”)的.
答案：上升
10.抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标是______________.
答案：(1，2)
11.(2023·包头)已知二次函数 y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点
P(m，3)在该函数的图象上，且 m≠0，则 m 的值为________.
答案：2
12.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交于(1，0)，
(3，0)两点，则它的对称轴为______________.
答案：直线 x＝2
13.(2022·绍兴)已知函数 y＝－x2＋bx＋c(b，c 为常数)的图象
经过点(0，－3)，(－6，－3).
(1)求 b，c 的值.
(2)当－4≤x≤0 时，求 y 的最大值.
(3)当 m≤x≤0 时，若 y 的最大值与最小值之和为 2，求 m 的
值.
解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入
y＝－x2＋bx＋c，
解得 b＝－6，c＝－3.
(2)∵y＝－x2－6x－3，
∴y＝－(x＋3)2＋6.
又∵－4≤x≤0，
∴当 x＝－3 时，y 有最大值为 6.
(3)①当－3＜m≤0 时，
当 x＝0 时，y 有最小值，为－3.
当 x＝m 时，y 有最大值，为－m2－6m－3.
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2.
解得 m＝－2 或 m＝－4(舍去).
②当 m≤－3 时，
当 x＝－3 时，y 有最大值为 6.
∵y 的最大值与最小值之和为 2，
∴此时 y 的最小值为－4.
∴－(m＋3)2＋6＝－4.
14.如图，已知二次函数的图象与直线 y＝x＋m 交于 x 轴上一
点 A(－1，0)，二次函数图象的顶点为 C(1，－4).
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)若二次函数的图象与 x 轴交于另一点 B，与直线 y＝x＋m
交于另一点 D，求 △ABD 的面积.
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2－4.
把点 A(－1，0)代入上式得 0＝a(－1－1)2－4,
解得 a＝1.
∴二次函数的解析式为 y＝(x－1)2－4，即 y＝x2－2x－3.
(2)令 y＝x2－2x－3＝0,
解得 x1＝－1，x2＝3,
∴B(3，0).
把点 A(－1，0)代入 y＝x＋m，得－1＋m＝0.
解得 m＝1.∴y＝x＋1.
15.已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0，0)时，
求二次函数的解析式.
(2)如图，当 m＝2 时，该抛物线与 y 轴交于点
C，顶点为 D，求 C，D 两点的坐标.
(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PC＋PD 最
短？若点 P 存在，求出点 P 的坐标；若点 P 不存在，请说明理由.
解：(1)由题意得m2－1＝0，∴m＝±1.∴二次函数的解析式
为y＝x2＋2x 或 y＝x2－2x.
(2)当 m＝2 时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴D(2，－1).
当 x＝0 时，y＝3，∴C(0，3).
(3)存在.理由如下：连接 C，D 交 x 轴于点 P，则点 P 为所求.
由 C(0，3)，D(2，－1)，求得直线 CD 为 y＝－2x＋3.当 y＝0 时，
16.(2023·北京)在平面直角坐标系 xOy 中，M(x1，y1)，N(x2，
y2)是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴
为 x＝t.
(1)若对于 x1＝1，x2＝2，有 y1＝y2，求 t 的值.
(2)若对于 0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有 y1＜y2，求 t 的取值范围.
解：(1)∵对于 x1＝1，x2＝2，有 y1＝y2，
∴a＋b＋c＝4a＋2b＋c，3a＋b＝0.

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